Bedste svar
Start med løsningen. Hvis du f.eks. Vil have, at løsningen er x = 1, vil den tilsvarende faktor være x – 1. Da det er den eneste løsning, bliver det nødt til at være begge faktorer, hvilket gør ligningen
( x – 1) (x – 1) = 0
eller
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Svar
Løsningerne i en kvadratisk ligning er de to punkter, hvor grafen krydser x-aksen. Det vil sige, det er de to værdier af x, der gør y nul på grafen.
Vi får disse punkter ved at tage ligningen i betragtning. Først omskriver vi ligningen til form 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Hvis det er simpelt nok, kan vi faktorere den højre side ved at øje på den. For eksempel, hvis ligningen er: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, kan du med en vis øvelse genkende, at disse faktorer indgår i 0 = (x + 3) (x + 4).
Årsagen factoring er så vigtig, er det faktum, at hvis produktet med to tal er lig med nul, SKAL et af udtrykkene være nul. Da vi har 0 på venstre side og et produkt på højre side (x + 3) (x + 4), skal et af disse udtryk være nul.
Så enten x + 3 = 0 eller x + 4 = 0. Vi kan løse for x i begge tilfælde, og vi får x = -3 eller x = -4. Det betyder, at grafen for vores ligning krydser x-aksen i to punkter, -3 og -4, så grafen for denne ligning er en parabel (alle kvadratiske ligninger er paraboler) forskudt til venstre og ned, så de to parabelens arme krydser x-aksen ved -3 og -4.
Nogle gange er det ikke let at faktorere ligningen ved at øje med den. Vi kan i så fald bruge den kvadratiske formel. (Det er virkelig sjovt at udlede den kvadratiske formel – hvis du ikke ved hvordan og vil have mig til at vise dig, så spørg bare.)
Her er den kvadratiske formel:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
For at teste det, hvis vi tilslutter a, b og c fra vores ligning, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, derefter a = 1, b = 7, c = 12, og tilslutning til formlen får vi:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} og \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 og \ frac {-8} {2} = -4. Så det fungerede!
Okay, alt dette er indledende til dit spørgsmål. Dit spørgsmål er, hvornår er løsningerne på en kvadratisk ligning uendelig. Lad os tænke over, hvad det betyder. Først og fremmest er det klart, at det ikke er muligt at have en løsning i det uendelige, men den anden løsning er endelig. Hvis det var tilfældet, ville vi have et endeligt antal gange uendeligt, som ikke kan være lig med nul.
Så spørgsmålet er, er det muligt for begge løsninger til at være uendelig? Hvordan ville dette se ud?
I den kvadratiske formel ville den eneste måde at gøre det uendeligt på, hvis a = 0. Så ville nævneren være nul, og dermed ville hele ligningen være “uendelig”. Men hvis a = 0, er ligningen ikke længere kvadratisk, den er lineær, ikke? For eksempel er 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 det samme som 0 = 7x + 12. Det er bare en linje, den er lineær, ikke kvadratisk. Men hver linje krydser x-aksen et eller andet sted, ikke? Den eneste gang det ikke er, når den er parallel med x-aksen. Det vil sige, når den har en hældning på 0. Det betyder, at b = 0. Så nu har vi 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. Med andre ord, 0 = c. Men så er c = 0.
Med andre ord er der ingen sådan ligning. Som det andet svar sagde, krydser alle kvadratiske ligninger x-aksen på et endeligt punkt. (Bemærk, at disse punkter ikke nødvendigvis er reelle! Hvis b ^ 2 – 4ac er negativ, så har ligningen faktisk imaginære rødder. Men de er stadig endelige.)