Bedste svar
Det er ikke rotation i 45 ^ o. Det er transformation til at rotere en vektor i \ mathbb {R} ^ 2 ved en vinkel \ theta. Du kan udlede formlen sådan:
Lad vektoren \ mathbf {V} drejes med en vinkel \ theta under noget transformation for at få den nye vektor \ mathbf {V “}.
Lad r = | \ mathbf {V} |. Derefter har vi relationerne:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x “= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Hvorfra har du forholdet:
v\_x “= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y “= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Dette er repræsenteret i matrixform som
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y “\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Svar
Der er flere måder at angribe dette problem på.
Den første er ganske enkelt at påberåbe sig Eulers rotation sætning, som siger, at ethvert endeligt antal rotationer omkring et enkelt fast punkt (men omkring vilkårlige akser i nd imensions) kan udtrykkes som en enkelt rotation af vinklen \ theta omkring en akse \ hat {n}.
Hvis vi accepterer, at hver rotation er repræsenteret af en matrix, og at metoden til at rotere en vektor er matrixmultiplikation, så følger det straks af dette, at produktet af rotationsmatricer A\_1 A\_2 … A\_n også skal være en rotationsmatrix – ellers har vi overtrådt Eulers rotationssætning.
Spørgsmålet er selvfølgelig hvordan du faktisk beviser denne sætning.
Eulers originale værk er… groft. Det involverer mange, mange trekanter tegnet på overfladen af kugler (dvs. ikke-euklidiske trekanter).
Hvis du har lyst til at følge beviset til slutningen, wikipedia-siden, der er linket tidligere, ser ud til at gøre et halvt anstændigt stykke arbejde.
En alternativ metode (eller, ækvivalent, en sekundær måde at bevise Eulers sætning, tror jeg), er at direkte brug rotationsmatricernes egenskaber med en lille udflugt til gruppeteori.
En rotation, matematisk set, er enhver operation, hvor afstanden mellem alle punkter i rummet forbliver konstant, og som efterlader et punkt, eller sæt af punkter, faste (forudsat at vi er på et simpelt euklidisk rum), ud over at bevare objektets orienteringsstruktur.
I gruppeteoretisk sprog kalder vi disse operationer (på euklidisk rum ) den “særlige ortogonale gruppe i n-dimensioner” eller kort sagt SO (n).
Matricerne A, som er medlemmer af SO (n), defineres af følgende to egenskaber:
- A ^ TA = 1\_n (den ortogonale bit)
- \ text {det} (A) = 1 (den specielle bit)
Dvs. rotationsmatricer er ortogonale matricer med determinant. Her er 1\_n identitetsmatricen i n-dimensioner.
“Orthogonality” -tilstanden er den betingelse, der sikrer, at afstande bevares, da vi i euklidisk rum har længden dof, hvor en vektor \ mathbf {v} er:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Hvis vi roterer denne vektor, sådan at \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, med A en ortogonal vektor, derefter ved egenskaberne af matrixmultiplikation:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Derfor er afstand d var upåvirket af rotationen.
Alle ortogonale matricer har determinant \ pm 1, men dem med en negativ determinant inkluderer også en spejl-spejlrefleksion omkring en eller anden akse. Da vi ønsker rene rotationer, ikke refleksioner, for at bevare objekternes orientering i vores rum, begrænser vi os derfor til dem med positive determinanter – det er her den “specielle” bit kommer fra.
Det faktum, at jeg har nævnt, at disse strukturer danner en gruppe (hvor den tilknyttede operation er matrixmultiplikation), er faktisk tilstrækkelig til at konkludere, at produktet af flere rotationsmatricer faktisk også er en rotation, da grupper er defineret til at være c lukket under gruppearbejdet .
Dette betyder, at et hvilket som helst to elementer g\_1 og g\_2 i en gruppe G med gruppearbejde g\_1 \ bullet g\_2 skal returnere et tredje element, g\_3, som også er medlem af gruppen G. Derfor, hvis A og B er rotationsmatricer, følger definitionen af en gruppe at A \ bullet B = AB også er en rotationsmatrix.
Selvfølgelig … dette er en snyderi ud. For at fastslå, at SO (n) var en gruppe, skal jeg bevise, at dette var sandt! Det kan også vises eksplicit ud fra følgende generelle egenskaber for transponeringen og determinanten:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Vi konstruerer derfor en matrix C = AB, hvor A og Bare medlemmer af SO (n) .
Vi overvejer derefter:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Da A ^ TA = 1\_n og B ^ TB = 1\_n, og associativiteten af matrixmultiplikation.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ gange 1 = 1
Vi ser derfor, at C er en ortogonal matrix med determinant – dvs. det er medlem af SO (n), og således er en rotationsmatrix.
Vi har derfor bevist, at SO (n) (og faktisk O (n)) danner en gruppe, der er lukket under matrixmultiplikation, og dermed er sammenkædningen af flere rotationer pr. definition i sig selv en rotation.
Vi har derfor bevist Eulers rotationssætning.