Bedste svar
En almindelig femkant tessellerer ikke.
For at en regelmæssig polygon kan tessellere top-til-toppunkt, er det indre din polygons vinkel skal opdele 360 grader jævnt. Da 108 ikke deler 360 jævnt, tæller den almindelige femkant ikke sådan.
At prøve at placere en af hjørnerne på en kant et eller andet sted i stedet for på toppunktet virker ikke af lignende grunde, vinklerne virker ikke Det stemmer ikke overens.
Der er dog masser af pentagoner, der ikke tessellerer, såsom eksemplet nedenfor, der fliser top-til-toppunkt. Du kan se, at vinklerne på alle polygoner omkring et enkelt toppunkt summer til 360 grader.
Kontrol af vinkeltilstanden er ikke den eneste krævede betingelse for at se, om polygoner er tessellaterede, men det er meget let at kontrollere. / p>
Ingen anden regelmæssig polygon kan tessellere på grund af vinklerne på polygonernes hjørner. For at tessellere et plan skal et helt antal ansigter være i stand til at mødes på et punkt. For regelmæssige polygoner betyder det, at vinklen på polygonets hjørner skal opdeles 360 grader. Derudover skal summen af de udvendige vinkler for alle konvekse polygoner summere til 360 grader, og for regelmæssige polygoner betyder det, at de udvendige vinkler skal være ens og summe til 360 grader. Dette betyder, at den indvendige vinkel på en almindelig n-gon er 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Antallet af regelmæssige n-goner, du kan passe rundt om et hjørne, er derfor \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, og er kun mulig, når det er et heltal .
Ligesidede trekanter har 3 sider, så du kan tilpasse \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 ensidige trekanter omkring et punkt. Tessellation er ikke udelukket.
Kvadrater har 4 sider, så du kan placere \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 firkanter omkring et punkt. Tessellation er ikke udelukket
Pentagoner har 5 sider, så du kan placere \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentagoner omkring et punkt. Dette er ikke et heltal, så tessellation er umulig.
Sekskanter har 6 sider, så du kan passe til \ frac {2 (6)} {6-2} = 12/4 = 3 sekskanter. Tessellation er ikke udelukket.
Men flere sider end det? Det er ikke muligt. Bemærk, at \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}, og at 2 < \ frac {2n} {n-2}, så for n> 6 har du 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, så for regelmæssige heptagoner, oktagoner, nonagoner osv., du kunne ikke passe et heltal af dem omkring et punkt.
Dette betyder ikke, at der ikke er pentagoner, heptagoner, oktagoner osv., der tessellerer, bare ikke almindelige pentagoner, regelmæssige heptagoner eller regelmæssige oktagoner osv.