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Die kurze Antwort lautet: Ja, Bereich einer Matrix entspricht dem Spaltenraum, , aber es gibt eine Subtilität.
Bei einer bestimmten Zahl m können wir diese Zahl entweder als -Konstante oder als Mittel zur Definition einer linearen Funktion f (x) = mx anzeigen. In ähnlicher Weise können wir eine Matrix \ mathbf {M} entweder als Array von Zahlen (langweilig) oder als Mittel zur Definition einer linearen Funktion f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf anzeigen {x}.
Der Begriff range bezieht sich auf die Menge von Ausgaben, die f () zurückgeben kann, und wird normalerweise als Eigenschaft definiert von Funktionen, nicht von Zahlen.
Der Spaltenraum wird andererseits typischerweise als eine Eigenschaft der Matrix selbst definiert. Und da der Spaltenraum die Menge aller möglichen linearen Kombinationen ist (auch bekannt als span ) von In den Spalten von \ mathbf {M} kann dies als \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | geschrieben werden \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, das ist der Bereich von f oben.
Antwort
Der Bereich einer Matrix ist der Bereich der Matrix, der als lineare Transformation betrachtet wird. Eine n-mal-p (reelle) Matrix A ist auch eine lineare Transformation von R ^ p nach R ^ n (der p-dimensionale euklidische Raum in den n-dimensionalen euklidischen Raum). Die Domäne ist R ^ p und der Bereich besteht aus von allen linearen Kombinationen der Spalten von A, dh die Menge \ {Ax: x \ in R ^ p \} (xa Spaltenvektor).
Wenn A Rang p hat, dann hat der Bereich Rang p, und dies ist möglich, wenn n> = p.
Gleiches gilt für eine komplexe Matrix A als lineare Transformation von C ^ p nach C ^ n, wobei C das Feld komplexer Zahlen ist.