Mejor respuesta
Dos cantidades están en la proporción áurea si su razón es la misma que la razón de su suma a la mayor de las dos cantidades.
Ahora, si dejamos que ayb (b> a) sean dos cantidades en la proporción áurea, entonces,
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a + b} {b} \ overset {\ mathrm {def} ^ n} {=} \ varphi \ tag * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {a} {b} +1 \ etiqueta * {}
\ dfrac {b} {a} = \ dfrac {1} {\ frac {b} {a}} + 1 \ etiqueta * {}
\ varphi = \ dfrac {1} {\ varphi} +1 \ etiqueta * {}
\ varphi ^ 2- \ varphi-1 = 0 \ tag * {}
La fórmula cuadrática revela que,
\ varphi = \ dfrac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ approx 1.618 \ tag * {}
(La otra solución da \ frac {a} {b} o \ varphi ^ {- 1} )
Como han mencionado otros, la proporción entre dos números de Fibonacci consecutivos también se aproxima a \ varphi.
De hecho, para cualquier secuencia que satisfaga la relación de recurrencia (con valores semilla A\_0, A\_1 no ambos 0 porque se convertiría en una secuencia constante ),
A\_n = A\_ {n-1} + A\_ {n-2} \ tag * {}
El límite de \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1}} cuando n \ to 0 se acerca a \ varphi .
Esto se puede probar dejando que L sea el límite,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_n} {A\_ {n-1 }} \ tag * {}
Usando la recurrencia,
L = \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-1} + A\_ { n-2}} {A\_ {n-1}} \ etiqueta * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {A\_ {n-2}} {A\_ {n-1}} \ etiqueta * {}
L = 1 + \ lim \ limits\_ {n \ to \ infty} \ dfrac {1} {\ frac {A\_ {n-1} } {A\_ {n-2}}} \ tag * {}
L = 1 + \ dfrac {1} {L} \ tag * {}
De nuevo, multiplicando por L y usando la fórmula cuadrática puedes mostrar que
L = \ varphi \ tag * {}
Respuesta
Construcción por compás y regla
Scott Beach desarrolló una forma de representar este cálculo de phi en una construcción geométrica:
Como Scott comparte en su sitio web: Triangle ABC is a right tria ngle, donde la medida del ángulo BAC es 90 grados. La longitud del lado AB es 1 y la longitud del lado AC es 2. El teorema de Pitágoras se puede utilizar para determinar que la longitud del lado BC es la raíz cuadrada de 5. El lado BC se puede extender en 1 unidad de longitud para establecer el punto D. El segmento de línea DC se puede bisecar (dividir por 2) para establecer el punto E. La longitud del segmento de línea EC es igual a Phi (1.618…).
Phi nomenal!
Fuente: http://www.goldennumber.net/phi-formula-geometry/