La mejor respuesta
George Gamow explica cómo Galileo llegó a esta fórmula en su libro «Gravity».
Galileo estaba estudiando la caída de cuerpos. Quería conocer la relación matemática entre el tiempo que tarda la caída de un objeto y la distancia recorrida. Así que hizo un experimento.
Construyó un plano inclinado. Luego dejó que las bolas de diferentes materiales rodaran por el avión (no las empujó). Midió las distancias recorridas por el balón al final del 1º, 2º, 3º y 4º segundo. Podría haber arreglado directamente la caída libre de la bola. Pero la caída libre es bastante rápida y no tenía buenos relojes en ese momento. Al realizar el experimento en un plano inclinado, redujo la fuerza de gravedad que actúa sobre la bola y aumentó el tiempo para llegar al fondo, que depende de la pendiente del plano inclinado. La siguiente figura explica esto:
De la figura, podemos mostrar que,
[matemáticas] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
Por lo tanto, menor la x, menor será el movimiento que causa la fuerza y más será el tiempo que tardará la pelota en llegar al fondo. Galileo descubrió que las distancias recorridas por la pelota al final del segundo, tercer y cuarto segundo son, respectivamente, 4, 9 y 16 veces la distancia recorrida al final del primer segundo. Esto muestra que la velocidad de la pelota aumenta de tal manera que las distancias recorridas por la pelota aumentan con los cuadrados del tiempo de viaje. Ahora la pregunta era cómo relacionar la velocidad con el tiempo dado arriba de la relación distancia-tiempo. Galileo dijo que este tipo de relación distancia-tiempo solo se puede obtener cuando la velocidad de la pelota es directamente proporcional al tiempo. La siguiente figura muestra el gráfico de velocidad frente al tiempo del experimento mencionado anteriormente y la declaración de Galileo:
En la figura anterior, apunte A corresponde a una posición cero de la bola (en la parte superior del plano inclinado) y el punto B corresponde a una bola que tiene una velocidad v al final del intervalo de tiempo t. Sabemos que el área del triángulo ABC nos da la distancia recorrida por la bola , s, en el intervalo de tiempo (0, t). Por lo tanto, la distancia recorrida es,
s = \ frac {1} {2} vt.
Pero según Galileo «s argumento, v es directamente proporcional a t, es decir, v = en donde a es la aceleración.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} en ^ 2. [/ math]
Entonces, la distancia recorrida aumenta como el cuadrado del tiempo que fue nuestra observación experimental. Esta fórmula da la distancia recorrida cuando no hay una velocidad inicial dada a la pelota. Pero cuando la pelota tiene alguna velocidad inicial, u, el término «ut» se agrega a la fórmula anterior, que es la distancia recorrida en el tiempo t a la velocidad u. Este término solo aumentará las distancias medidas en nuestro experimento, pero mantendrá la misma relación distancia-tiempo. Por lo tanto, la fórmula final es:
s = ut + \ frac {1} {2} en ^ 2.
Respuesta
Al intentar probar algo relacionado a números enteros positivos, su primer pensamiento debería ser la inducción. El problema es que no existe una forma de proceder inmediatamente obvia. Queremos poder agregar algo a ambos lados de la desigualdad, pero entonces el límite del lado derecho aumentaría.
El truco para este problema es hacer que el límite sea más fuerte de lo que es actualmente. Entonces, probaremos la declaración relacionada
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
para todos los enteros positivos n \ geq 3. La declaración original sigue por permitiendo que n se acerque al infinito.
Tenga en cuenta que, para cualquier entero positivo k, tenemos
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Sabiendo esto, podemos proceder por inducción.
Dado que \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, el caso base n = 3 es verdadero.
Ahora, suponga que la declaración es verdadera para algunos k, es decir, que
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Deseamos mostrar que el La declaración también es válida para k + 1. Para hacer esto, agregue \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} a ambos lados:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
De la desigualdad que probamos anteriormente, esto se simplifica a
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
que es exactamente lo que queríamos probar.
Por lo tanto, según el principio de inducción matemática, la declaración modificada es válida para todos los enteros n \ geq 3, por lo que la declaración original también es cierta.
EDITAR: Como señaló Predrag Tosic en los comentarios, cuando permitimos que n se acerque al infinito, el signo ebe cambiarse a \ leq en caso de que los dos lados de la desigualdad converjan en el mismo valor.Sin embargo, esto se puede solucionar probando la desigualdad
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
para un pequeño valor de \ epsilon ( digamos, \ dfrac {1} {100}), que cuando n se acerca al infinito daría como resultado
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
de donde se deriva la declaración deseada.