Mejor respuesta
El «perímetro» de cualquier forma cerrada es simplemente la suma de las longitudes de todos sus límites. Un «sector» (de un círculo) está delimitado por un arco y dos radios, por lo que el perímetro es dos veces el radio (r) más la longitud del arco. El arco es una fracción de la circunferencia del círculo, que es dos-pi por el radio.
Por lo tanto, todo lo que necesitamos saber es el radio y la fracción de la circunferencia (2 * pi * r) subtendida por el arco. Esa fracción es la misma que cualquier fracción del área del círculo que ocupa el sector, que es lo mismo que cualquier fracción que el ángulo central tome de 360 grados (o 2-pi radianes).
Si el centro el ángulo (en el punto del sector) es «theta», entonces el arco es la circunferencia (pi * 2 * r) multiplicada por la fracción formada por theta-grados / 360-grados (o theta-radianes / 2-pi radianes) .
Por ejemplo, si theta es de 90 grados, entonces el arco es un cuarto del círculo, con una longitud de: (1/4) * 2 * pi * r, por lo que el perímetro es esa longitud del arco más 2 * r (para los lados formados por radios).
Si theta es pi / 6 radianes (30 grados), entonces la longitud del arco es (30/360) * 2 * pi * r, entonces el perímetro del sector es = r * [2 + pi / 6].
Las fórmulas generales para el perímetro de un sector, con theta expresado en grados serían:
- [2 + (2 * pi) * theta (grados) / 360] * r
Si theta se expresa en radianes, entonces la fórmula se convierte en:
- [2 + theta ( radianes)] * r
Respuesta
Queremos la fórmula para el perímetro de un segmento de un círculo.
Considere el segmento ABC de un círculo con centro O de radio r.
Sea \ angle AOB = \ theta.
\ Rightarrow \ qquad La longitud del arco ACB = r \ theta.
\ triangle AOB es isósceles.
\ Rightarrow \ qquad La proyección tanto de OA como de OB en AB es r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).
\ Rightarrow \ qquad La longitud del acorde AB = 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ derecha).
El perímetro del segmento ABC es la suma de la longitud del arco ACB y la cuerda AB.
\ Rightarrow \ qquad El perímetro del segmento ABC = r \ theta + 2r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right).