Mejor respuesta
Gavin Song ya te ha dado una gran respuesta, pero haré todo lo posible para ofrecerte una alternativa forma de ver este problema usando Cálculo.
Hecho: Cualquier elipse 2D puede parametrizarse como
\ begin {align *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {align *}
Donde 0 \ leq t \ leq 2 \ pi y a y b son la semi-menor y la semi-mayor ejes (también conocidos como radios vertical y horizontal) respectivamente.
Considere que un punto tiene un cambio en el eje xy otro en el eje y, digamos \ Delta y y \ Delta x. Usando el teorema de Pitágoras, sabemos que la longitud entre la posición inicial y final del punto está dada por (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. ¿Simple verdad?
Ahora, aplique esa lógica a la elipse parametrizada. Para aproximar el perímetro de la elipse, podríamos «seguir» un punto en la elipse a lo largo de varios pasos en t, medir la longitud entre sus ubicaciones en cada intervalo y sumarlos al final. Si intenta hacer esto usted mismo, notará que la medición se vuelve cada vez más precisa si consideramos intervalos cada vez más pequeños. Entonces, para obtener el perímetro verdadero, podríamos realizar este proceso para intervalos infinitamente pequeños, lo que daría cambios infinitamente pequeños en xey, digamos dx y dy. Esto es equivalente a evaluar la siguiente integral:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Deje que el perímetro se exprese como l. Si usamos la parametrización anterior, podemos expresar esto como
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 \ Big) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {align *}
Sin embargo, hay una trampa. Esta integral no tiene una solución simbólica a menos que a = b (que elegantemente nos da la fórmula para el perímetro de un círculo), por lo que nuestra única opción es usar métodos numéricos para obtener una buena aproximación. Esto puede ser interesante o decepcionante para usted, pero de cualquier manera espero que haya sido de ayuda.
🙂
Respuesta
Si tiene paciencia conmigo, lo haré considere esta pregunta al revés.
Suponga que un círculo y una elipse tienen áreas iguales.
Mi pregunta es «¿Tienen los mismos perímetros?»
(Observe que cuando a = b = r la fórmula es la misma que el área del círculo).
La circunferencia de un círculo es 2πr
¡La circunferencia de una elipse es muy difícil de calcular!
¡La gente ha intentado encontrar fórmulas para encontrar la circunferencia de una elipse, pero la mayoría de los intentos son solo aproximaciones.
¡Algunos métodos incluso involucran sumar series infinitas!
El famoso matemático indio Ramanujan elaboró una muy buena fórmula que es bastante precisa.
Tenga en cuenta que si a = b = r, la elipse se convierte en un círculo y la fórmula anterior cambia a la fórmula para la circunferencia del círculo C = 2πr .
Si sustituimos esto en su fórmula obtenemos:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Consideremos un ejemplo particular donde el círculo tiene un radio de 6 cm y una elipse tiene un eje mayor de 9 cm y un eje menor 4 cm.
Área del círculo = π × 6 × 6 = 36π cm cuadrados
Área de elipse = π × 9 × 4 = 36π cm cuadrados
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La circunferencia del círculo = 2πr = 12π cm
La circunferencia de la elipse usando la fórmula de Ramanujan es:
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Conclusión, si el círculo y la elipse tienen la misma área, entonces la elipse tiene un mayor circunferencia que el círculo .