Mejor respuesta
Comience con la solución. Por ejemplo, si desea que la solución sea x = 1, entonces el factor correspondiente sería x – 1. Dado que esa es la única solución, tendrá que ser ambos factores, lo que hace que la ecuación
( x – 1) (x – 1) = 0
o
x ^ 2 – 2x + 1 = 0
Respuesta
Las soluciones de una ecuación cuadrática son los dos puntos donde la gráfica cruza el eje x. Es decir, son los dos valores de x los que hacen que y sea cero en la gráfica.
Obtenemos estos puntos al factorizar la ecuación. Primero, reescribimos la ecuación en la forma 0 = ax ^ 2 + bx + c.
Si es lo suficientemente simple, podemos factorizar el lado derecho mirándolo a simple vista. Por ejemplo, si la ecuación es: 0 = x ^ 2 + 7x + 12, con algo de práctica puedes reconocer que eso se factoriza en 0 = (x + 3) (x + 4).
La razón factorizar es tan importante es el hecho de que si el producto de dos números es igual a cero, uno de los términos DEBE ser cero. Entonces, dado que tenemos 0 en el lado izquierdo y un producto en el lado derecho (x + 3) (x + 4), uno de esos términos debe ser cero.
Entonces, x + 3 = 0, o x + 4 = 0. Podemos resolver x en ambos casos y obtenemos x = -3 o x = -4. Eso significa que la gráfica de nuestra ecuación cruza el eje x en dos puntos, -3 y -4, por lo que la gráfica de esta ecuación es una parábola (todas las ecuaciones cuadráticas son parábolas) desplazada hacia la izquierda y hacia abajo, por lo que las dos los brazos de la parábola cruzan el eje x en -3 y -4.
A veces no es fácil factorizar la ecuación mirándola. Podemos usar la fórmula cuadrática en ese caso. (Es muy divertido derivar la fórmula cuadrática; si no sabe cómo y desea que se lo enseñe, pregunte.)
Aquí está la fórmula cuadrática:
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}
Para probarlo, si conectamos a, byc de nuestra ecuación, 0 = x ^ 2 + 7x + 12, luego a = 1, b = 7, c = 12, y conectando la fórmula obtenemos:
x = \ frac {-7 \ pm \ sqrt {7 ^ 2 – 4 (1) (12)}} {2 (1)}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {49 – 48}} {2}
= \ frac {-7 \ pm \ sqrt {1}} {2}
= \ frac {-7 + 1} {2} y \ frac {-7 – 1} {2}
= \ frac {-6} {2} = -3 y \ frac {-8} {2} = -4. ¡Así que funcionó!
Bien, todo eso es preliminar a tu pregunta. Tu pregunta es, ¿cuándo son infinitas las soluciones de una ecuación cuadrática? Bueno, pensemos en lo que eso significa. En primer lugar, está claro que no es posible tener una solución en el infinito pero la otra solución finita. Si ese fuera el caso, tendríamos un número finito multiplicado por infinito, que no puede ser igual a cero.
Entonces la pregunta es, ¿es posible para ambos ¿soluciones para ser infinito? ¿Cómo se vería esto?
En la fórmula cuadrática, la única forma de hacerlo infinito sería si a = 0. Entonces el denominador sería cero y, por lo tanto, toda la ecuación sería «infinito». Pero si a = 0, entonces la ecuación ya no es cuadrática, es lineal, ¿verdad? Por ejemplo, 0 = 0x ^ 2 + 7x + 12 es lo mismo que 0 = 7x + 12. Eso es solo una línea, es lineal, no cuadrática. Pero cada línea cruza el eje x en alguna parte, ¿verdad? La única vez que no es así es cuando es paralelo al eje x. Es decir, cuando tiene una pendiente de 0. Eso significa que b = 0. Entonces ahora tenemos 0 = 0x ^ 2 + 0x + c. En otras palabras, 0 = c. Pero entonces c = 0.
En otras palabras, no existe tal ecuación. Como decía la otra respuesta, todas las ecuaciones cuadráticas cruzan el eje x en un punto finito. (Tenga en cuenta que esos puntos no son necesariamente reales. Si b ^ 2 – 4ac es negativo, entonces la ecuación en realidad tiene raíces imaginarias. Pero siguen siendo finitas).