Mejor respuesta
Hay algunas formas de resolver una ecuación cuadrática. Puede utilizar la función de resolución de complementos. No estoy muy familiarizado con cómo funciona eso, pero es una sugerencia para ti.
Otras formas con las que estoy familiarizado es crear una tabla o graficarla.
Supongamos que tenemos la ecuación simple: 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Ahora sabemos que si factorizamos esto obtenemos (x + 5) (x + 2) = 0, esto significa x = -2, -5. Pero al mismo tiempo, podemos usar esto como una guía para ver cómo verificar nuestra solución en Excel.
Lo primero que podemos hacer es crear una tabla de Excel. Lo que me gusta hacer es configurar una tabla de Excel. Tengo los valores de x en el rango de la izquierda de -50 a 50. Después de eso, simplemente puedo ingresar la ecuación como tal:
= [@x]*[@x] + 7*[@x] + 10
o
=power([@x],2) + 7*[@x] + 10
[@x] básicamente es la referencia de celda para los valores de x en la columna (en breve le proporcionaré una imagen de cómo funciona esto).
Si observa la ecuación que nos dieron anteriormente, 0 = x ^ 2 + 7x + 10. Lo que esto significa es que estamos configurando y = 0 (porque la ecuación completa es y). Esto significa que, en términos de la tabla de Excel, debemos buscar los valores de x en el lado izquierdo que tendrán un 0 al lado del dobladillo en la columna y. Observe a continuación:
Si se da cuenta, tenemos dos valores que tienen un cero junto a ellos, -2 y -5. Estas son las soluciones de la ecuación.
Otro ejemplo sería graficar su ecuación. Aquí, podemos usar nuestra tabla de Excel como datos de la serie para trazar los puntos.
Trazar los puntos en el gráfico no lo hará obvio de inmediato. Por lo tanto, es posible que deba ajustar el mínimo y el máximo de ejes. En mi gráfico, ajusté el eje x para que oscile entre -10 y 5, y el eje y entre -10 y 10.
Si se da cuenta, la gráfica cruza x = -2 y cruza alrededor de x = -5. Así que también pudimos resolver la ecuación gráficamente.
Respuesta
Entiendo que por difícil te refieres a «difícil de factorizar». Consideremos una expresión general de ax ^ 2 + bx + c.
Para «resolver» esto, lo igualamos a 0 y obtenemos ax ^ 2 + bx + c = 0. Encontrar x es tu deber.
Dios, sería REALMENTE útil si hubiera una solución simple que funcionara para cualquier coeficiente general. Por suerte para nosotros, lo hay, y es algo fácil de encontrar (no intente hacer esto con ecuaciones cúbicas o más, bueno, puede intentar encontrarlo, pero es MUY difícil de encontrar en este nivel).
Por tanto, queremos pensar en esto detenidamente. ¿Cuál es el problema de resolver x aquí?
En una ecuación lineal normal, como ax + b = 0, es fácil. x es una ocurrencia. El problema con las cuadráticas es ese molesto formato ax ^ 2 + bx, ya que nuestra estrategia de restar una constante y dividir para obtener x no funciona, tenemos que destrozarla y no podemos usar fácilmente la factorización, ya que siempre habrá un déficit x de uno si tratamos de factorizar x o x ^ 2.
Bueno, maldición, ¿qué hacemos aquí entonces? Tenemos una parte al cuadrado, eso debe significar que de alguna manera debemos obtener algo al cuadrado, como (?) ^ 2 = gx ^ 2 + hx + e, donde luego podríamos sumar como f para que sea una constante que podemos restar fácilmente como nuestro ejemplo de ecuación lineal. Claramente, el? debe contener una x singular en alguna parte, pero también necesitamos agregar una constante a la parte x, ya que la propiedad distributiva alterará la constante con la x, y lo hará también con x y ella misma, y una constante, creando una singular x, sin exponente. Entonces podremos enraizar cualquier constante que tengamos en el otro lado, y luego resolverla como una ecuación lineal.
Entonces, pongámonos en dicha posición.
Vamos dividimos nuestra ecuación original en ambos lados por a, así puedo obtener un x ^ 2 puro y no necesito usar \ sqrt {a} como un coeficiente que será más complicado.
Obtenemos x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + c / a = 0.
Bien, entonces nuestra forma de? debe ser x + k ya que no puede haber un coeficiente de x que no sea uno, ya que la distribución no produciría un x ^ 2 «puro». ¿Qué es entonces k? Bueno, pensemos aquí un poco: queremos forzar de alguna manera para obtener hx = \ frac {b} {a} x. Siempre que cuadre algo, y se agregan dos términos, debo usar la distribución para ir «por partes». Como cuando lo elevo al cuadrado, multiplico esta cantidad (los dos términos se suman) por sí misma, obtendré como se mencionó el x ^ 2 del término x, una constante del término k, pero también kx pasando por k en la primera cantidad multiplica la x en la segunda, y x y k de la otra manera, pero agrego estos para obtener 2kx. [para ver esto, escriba (x + k) (x + k), distribuya para obtener (x + k) x + (x + k) k. Ahora, distribúyelo y dibuja las rutas para obtener x ^ 2 + kx + kx + k ^ 2, lo que da x ^ 2 + 2kx + k ^ 2]
Entonces, sea lo que sea este k va a ser, tenemos que tener 2kx = \ frac {b} {a} x pero eso significa k = \ frac {b} {2a}. Ok, AHORA estamos llegando a alguna parte.Recuerde el hecho de que estamos elevando al cuadrado, algunos (x + k) ^ 2, y cuando expanda este get (x + k) (x + k), seguiré un camino de multiplicación por distribución. Uno de esos caminos que debo seguir es k por k, pero ya sabemos qué es k, por lo que debemos tener alguna constante k ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}. Entonces, agreguemos eso en ambos lados, lo que podemos hacer, ya que eso es constante, y no nos importa qué constante obtengamos en el otro lado, solo queremos factorizar correctamente este lío.
Así que hacemos exactamente eso y obtenemos
x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Y ahora, tenemos todos los términos que nos permiten factorizar esto en un formato (x + k) ^ 2 = constante, ¡justo lo que queríamos! Encontramos que k es \ frac {b} {2a}, por lo que simplemente lo factorizamos.
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + c / a = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Ahora queremos arreglar este lío, observe que eventualmente vamos a la raíz cuadrada una vez que restamos las constantes, y tenemos en un término un denominador de 4a ^ 2, que es muy fácilmente de raíz cuadrada. Hagamos c / a compatible con esto, multiplicándolo por 1, que no cambia nada, pero 1 = 4a / 4a. No tenemos que preocuparnos por a = 0 ya que si lo fuera, tendríamos una ecuación lineal, que no es en lo que estamos enfocados.
Entonces, obtenemos (x + \ frac {b } {2a}) ^ 2 + 4ac / 4a ^ 2 = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}
Genial, ahora resta el segundo término ya que tienen denominadores comunes, y get
(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 = \ frac {b ^ 2-4ac} {4a ^ 2}
Y el lado derecho es constante ahora , podemos enraizar ambos lados fácilmente.
Obtenemos
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a }
Esto no es del todo correcto, ya que tenemos que darnos cuenta de que cuando hago raíz cuadrada un número positivo, d ^ 2, d podría ser positivo o negativo. Entonces, para una buena medida, agregamos un signo más o menos, y obtenemos
x + \ frac {b} {2a} = \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} { 2a}
Y ahora podemos restar esa k, ya que ahora tenemos una ecuación lineal para resolver, como queríamos, y obtenemos
x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}