Mejor respuesta
Una transformación de matriz está en si y solo si la matriz tiene una posición de pivote en cada fila. Row-reduzca y luego verifique si el número de pivotes es igual al número de filas.
Ok, con eso fuera del camino, necesito hacer mi perorata ahora.
Cada vez que alguien aplica el adjetivo «sobre» o «linealmente independiente» a una matriz, me estremezco un poco. Eso es un error de categoría. En su lugar, diga: «¿Cómo saber si una matriz transformación está en?”
Verá, la terminología es muy importante en matemáticas . La belleza del álgebra lineal es que, dado un sistema lineal o una transformación lineal, puedes escribir una matriz, que es solo un rectángulo con números asociados a ese sistema lineal o transformación lineal. Luego, hacer varias cosas con el cuadro de números le da volver todo tipo de información sobre el sistema original o la transformación. El álgebra lineal es principalmente el estudio de estas relaciones. Sin embargo, la mayoría de los estudiantes de álgebra lineal, cuando usan la terminología incorrectamente, revelan que no comprenden bien cómo hay conceptos separados para relacionarse.
El adjetivo «sobre» simplemente no se aplica a las matrices. Esto es como preguntar: «¿Cómo se puede saber si una cama tiene sueño?» El hecho de que hagas esta pregunta significa que no entiendes qué significa somnoliento o qué cama significa, o ambos.
Aquí hay una hoja de trucos con los principales tipos de objetos encontrados en álgebra lineal, junto con algunos de la terminología más común utilizada para describirlos:
Para matrices A, B , las siguientes frases no son un galimatías:
– Un está en (forma escalonada de fila / forma escalonada de fila reducida)
-pivot (posiciones / filas / columnas ) de A;
-A es (cuadrado / diagonal / invertible / triangular superior / triangular inferior)
– (Rango / Determinante / Autovalores / Autovectores / Polinomio característico) de A
– (espacio nulo / espacio de columna) de A;
– A es (fila equivalente / similar) a B
-La transformación de matriz \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Si A x = b es un sistema de ecuaciones lineales , las siguientes frases no son un galimatías:
– (Solución / Conjunto de soluciones / Solución general) del sistema
-El sistema tiene (una solución única / sin soluciones / infinitas soluciones / n variables libres)
-El sistema es (consistente / inconsistente / indeterminado / sobredeterminado)
– (Matriz de coeficientes / Aumentada matriz) del sistema
Si T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m es una transformación lineal , lo siguiente las frases no son gibberi sh. Tenga en cuenta que si A es una matriz, entonces se puede hablar de la transformación de matriz \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, que es una transformación lineal.
– (Dominio / Codominio / Rango) de T
– T es (en / uno a uno / invertible)
-Matriz estándar de T; matriz de T con respecto a las bases \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rango / Determinante / Autovalores / Autovectores / Característica polinomio) de T
Si S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} es un conjunto de vectores en \ mathbb R ^ m , las siguientes frases no son un galimatías. Tenga en cuenta que si A es una matriz m \ multiplicada por n, entonces las columnas de A forman tal conjunto.
– S es linealmente (independiente / dependiente)
-Span of S
-S (abarca V / es una base para V ), donde V es un subespacio de \ mathbb R ^ m
Respuesta
Se encuentra una matriz cuadrada de dimensión finita en caso de que su determinante no sea cero. Puede verificar esto de manera más eficiente con la eliminación gaussiana.
De manera más general, una matriz rectangular finita se coloca en caso de que su transposición sea inyectiva, lo que ocurre solo en caso de que las filas (o columnas) de la matriz original, según la convención que use para lo que se ingresa y cuál es la salida) son linealmente independientes, es decir, la matriz tiene rango de fila completo. Nuevamente, la eliminación gaussiana es su amiga: coloque la matriz en forma escalonada y verifique si la entrada inferior derecha es cero (de manera equivalente, si hay filas de todos ceros). La matriz está en si y solo si la entrada inferior derecha es distinta de cero.