Mejor respuesta
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Lo fundamental sobre decimal es que es sólo uno de los muchas formas utilizadas para representar números. Sin embargo, es una forma tan común que muchos (sin tener la culpa) llegan a asociar el número con la forma en sí. Y si dos números tienen dos formas diferentes, entonces deben ser números diferentes, ¿verdad?
Pero, ¿qué pasa con los siguientes dos números:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {1} {2}?}
representaciones bastante diferentes, pero si revisa y hace los cálculos / cancelaciones necesarios, es casi seguro que me creerá que esas dos formas representan el mismo número .
¿Por qué?
Porque cuando nos enseñan fracciones, desde una etapa muy temprana, nos enseñan que dos fracciones pueden ser el mismo número y que están en forma reducida si el numerador y el denominador no tienen factores comunes superiores a 1.
Y nos aferramos a eso.
Estamos convencidos de ello a través de la experiencia y repetición de esa experiencia, y podemos utilizar diferentes formas para verificar esa experiencia.
No tanto con «decimales», y mucho menos con otras posiciones formas.
Lo bueno de las representaciones decimales de números es que para la mayoría números (en cierto sentido técnico) la forma decimal es de hecho único (pero en la mayoría de esos casos, en el mismo sentido, no es práctico escribirlo con todo detalle, digámoslo de esa manera).
Sin embargo, hay algunas excepciones. Por «pocos» me refiero a que, en comparación con todo el «lote» de números, en principio (si no en la práctica) se pueden escribir en decimal.Las excepciones son aquellos números que son racionales, y sus denominadores (en forma reducida) tienen solo potencias de 2 y / o potencias de 5.
La herramienta que necesitas para entenderla es la esencia de una serie geométrica convergente.
Una serie geométrica convergente (infinita) es una serie de la forma
\ displaystyle {\ qquad a + a \ times r + a \ times r ^ 2 + \ ldots + a \ times r ^ n + \ ldots.}
Cuando la serie termina después de un número finito de términos con mayor potencia N, es bastante fácil de confirmar que la serie suma a
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
y preguntamos qué significa tener una suma infinita. La definición convencional es que los términos se vuelven más pequeños lo suficientemente rápido que el valor total se acerca a un límite finito cuando N se vuelve arbitrariamente grande. Investigar esta idea nos lleva a una condición, que es que la razón común r debe estar entre (pero no estar tampoco) -1 y 1. O, | r | , equivalente a -1 .
Entonces la fórmula se convierte en
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
como el término r ^ N \ to0.
Ahora recuerde cómo se define la notación decimal: en realidad es solo una forma abreviada de una serie de la forma
\ displaystyle {\ qquad \ begin {align *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ times10 ^ k + a\_ {k-1} \ times10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ times10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {align *}}
donde k es la mayor potencia distinta de cero de diez que es menor que el número, y a\_i, b\_j son los dígitos decimales (enteros de cero a nueve).
El número 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 es un número de esta forma, donde k = 0 y a\_0 = 9 = b\_j para todos los enteros positivos j. Afortunadamente, esto nos da precisamente la forma de una serie geométrica. (Tenga en cuenta que cada número en forma decimal donde los dígitos son diferentes del 9 a la derecha está delimitado arriba por una serie como esta).
Podemos simplemente conectar cosas: el primer término es a = 9 y la razón común es r = \ frac {1} {10} . ¡Así que inmediatamente sabemos que esta serie converge!
Obtenemos
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Muy ingenioso.
Hay, por supuesto, otros trucos que puedo usar para demostrar que 9. \ dot9 = 10 (en decimal, de todos modos …), pero lo mejor (en mi mente) es entender algo sobre lo que significa la notación y cómo funciona, y luego es fácil de entender con el hecho de que incluso en la notación posicional no todos los números se representan de una sola manera.
En general, si tenemos una base b válida, el número representado en esa base posicional con la forma 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots siempre es igual a 1. Así, en binario (por ejemplo), donde 0.1 = \ frac {1} {2}, tenemos 0.111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. El «método» de la serie infinita funciona de la misma manera para demostrar este resultado.