Mejor respuesta
Dado Rt Triangle, lados 18, 24, 30; Encuentra el radio del círculo inscrito.
Respuesta corta; la fórmula del radio de un círculo inscrito en un triángulo Rt es
Área / (1/2 perímetro)
El área es Altura X Mitad de la Base; es decir
18 * 12 = 216
El perímetro es 18 + 24 + 30 = 72; y dividido por 2
72/2 = 36
El radio del círculo es 216/36 = 6 cm
Respuesta larga
Construcción:
Bisecar AC y CA, en la intersección verifique el lugar geométrico con la bisección de BC, Está bien, así que vamos… ..
Con una brújula y un lápiz, haz un círculo tocando cualquier lado, siguiendo alrededor toca los otros 2 lados.
Etiqueta la intersección de AD y CE, O.
Desde allí, cae una perpendicular a cada lado en P, en Q y en R.
La intersección, O, es equidistante de los lados AB, BC y AC. (Ver III abajo)
I.
Considere los Triángulos, BPO y BRO.
Ángulos BO = BO (Construcción).
La línea BO es común a ambos triángulos.
Ángulos RO = PO (ángulos Rt construidos).
Ergo Triángulos BPO y BRO son congruentes.
Sigue la línea BP = BR.
Pero sabemos que BR = BC – r.
Entonces BP = BC – r; o 24 – r.
Con el mismo argumento podemos probar PA = AC -r: o 18 – r.
Entonces.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; y BP + PA = BA.
Combinando conclusiones …… BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Sustituyendo BA por BP y PA, y simplificando….
Entonces, BA = 42 – 2r.
Pero BA = 30 (Dado). Sustituyendo BA.
30 = 42 – 2r… simplificando…. 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Se encontró que el radio es => 6 unidades.
La aritmética parece ser,
Suma de todos los lados, de esta serie de triángulos, / 12 = Radio de inscripciones círculo.
18 + 24 + 30 = 72
Radio = 72/12 = 6.
Espero que te ayude.
Re ; fórmulas en otras respuestas, gracias a cada uno. ¡Nuevo para mí!… Lol. Aprendo algo nuevo en Quora todos los días. Mi favorito es área / (0.5 * perímetro) = radio del círculo inscrito… .216 / 36 = 6…
EDITAR 26/6 / 17
III.
De la construcción de la figura,
Los triángulos BPO y BOR son congruentes, como se demostró anteriormente. También APO y AOQ también pueden probarse congruentes.
Ergo
Líneas OP = OR y OQ = OP. Dado que OP es igual a OR y OQ, estos son iguales entre sí, es decir – OR = OQ. En consecuencia, esta es una prueba de que la intersección de la bisección de sus ángulos ES el centro de la figura, un triángulo rectángulo, y equidistante de sus 3 lados.
QED
Respuesta
Gracias por hacer esta bonita pregunta, Sr. Lloyd; no solo la respuesta a su pregunta es un sí , sino que hay infinitos (planar ) triángulos con las propiedades que solicitas y, como resultado, es posible ordenar algunos de ellos por el radio de sus incírculos de tal manera que dichos radios siguen o ensombrecen el conjunto de números naturales 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente.
En otras palabras, utilizando la próxima discusión como modelo para una prueba potencialmente más formal, mostrar una forma mecánica de generar un triángulo cuyas longitudes todos los lados son números enteros y la longitud del radio de cuyo círculo es un número entero n dado de antemano.
Barra lateral: este tipo de preguntas tengo mucho que hacer con la teoría de números elemental y muy poco que ver con la geometría.
Una familia de triángulos (planos) que es garantizado para tener las propiedades solicitadas de inmediato son los llamados Triángulos de Pitágoras : los triángulos de la derecha (por ahora) cuyas longitudes son todos los lados números enteros.
Acordamos que las longitudes de los lados de un triángulo pitagórico son el todo, estrictamente positivos, números a, byc tales que:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Acordamos también que cuando los tres los enteros a, b, c son coprimos, entonces el correspondiente Triángulo de Pitágoras se llama primitivo y supongamos por un momento que de alguna manera logramos encontrar uno de esos primitivos triángulo a\_0 , b\_0, c\_0.
Debido a que la relación en ( 1 ) no tiene ningún otro término flotante, se deduce que al escalar todos los números que forman una Triángulo pitagórico primitivo por el mismo entero estrictamente positivo k:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
obtendremos un nuevo triángulo que será:
- también pitagórico
- ya no primitivo (para k> 1)
- similar a su primitivo padre Triángulo de Pitágoras a\_0, b\_0, c\_0
- más grande que su primitivo padre Triángulo de Pitágoras a\_0, b\_0, c\_0
Sigue luego que existen infinitos Triángulos de Pitágoras no primitivos generados por un (único) Triángulo de Pitágoras primitivo dado. Un triángulo pitagórico primitivo dado es el más pequeño de su familia porque las longitudes de sus lados no se pueden reducir más. No hay dos Triángulos pitagóricos primitivos distintos que sean similares.
Observamos de pasada que normalmente no lanzamos enunciados matemáticos ociosamente; los probamos en ese mismo momento, pero porque el enfoque de esta respuesta no son las pruebas de las propiedades anteriores, simplemente las consideramos verdaderas por ahora (solicite las pruebas relevantes por separado si está interesado).
Por lo tanto, tradicionalmente es de interés inicial recuperar las longitudes de los lados de primitivos Triángulos de Pitágoras porque todos los demás Triángulos de Pitágoras se pueden generar a partir de sus contrapartes primitivas como se explicó anteriormente.
Como ejercicio, podemos mostrar que una completa parametrización de las soluciones de ( 1 ) viene dada por:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
donde myn son todos los pares de enteros coprimos de paridad opuesta con m> n. El bit de paridad opuesta significa que uno de estos números, realmente no importa cuál, debe ser impar, mientras que el otro debe ser par.
Nuevamente, si está interesado, haga una pregunta separada sobre de dónde provino ( 2 ); estaremos más que felices de presentar una deducción de este hecho fuera de banda para no contaminar la respuesta actual con demasiada información técnica.
Existe una parametrización alternativa de las soluciones de ( 2 ) que también omitimos aquí.
Ahora, considere un triángulo rectángulo arbitrario con los lados ayb, la hipotenusa cy el radio interno r (Fig. 1):
Si agregamos la ecuación verde a la ecuación azul que se muestra en la Figura 1 y usamos la ecuación gris para x + y, entonces encontraremos:
c + 2r = a + b \ tag * {}
desde donde:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Ahora suponga que lo anterior es correcto t triángulo es un primitivo Triángulo de Pitágoras. Si tomamos los valores de a, byc de ( 2 ) y los colocamos en ( 3 ) entonces tendremos:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Aquí, los m ^ 2 se cancelarán y los n ^ 2 se duplicarán:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Factorizando 2n del denominador anterior, llegamos a:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
lo que quiere decir que:
r = n (mn) \ tag {4}
que nos dice que en cualquier Triángulo pitagórico primitivo la longitud de su radio es un número entero (no olvide la restricción m> n, consulte ( 2 )) porque una diferencia de dos enteros es siempre un entero y un producto de dos enteros es siempre un entero.
A continuación, considere cualquier triángulo k no primitivo, es decir, considere un triángulo de Pitágoras cuyas longitudes de todos los lados han sido ampliado uniformemente por algún entero estrictamente positivo k> 1. Debido a que tales longitudes entran en la ecuación ( 3 ) como términos estrictamente lineales, para obtener la longitud del radio correspondiente, todo lo que tenemos que hacer es multiplicar el RHS de ( 4 ) por k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Por lo tanto, de cualquier manera, la longitud del radio interno de un triángulo de Pitágoras es siempre un número entero porque los objetos (los números) en el lado derecho de ( 4 , 5 ) siempre son – una diferencia de dos enteros es siempre un entero y un producto de dos enteros es siempre un entero.
Tenga en cuenta que el La ecuación ( 5 ) se puede leer de derecha a izquierda . Lo que significa que podemos tomar los enteros k, m, n como entrada y luego usar ( 5 ) para generar un radio interno integral como salida.
Ahora intentemos ir en la dirección opuesta – veamos si podemos hacer un pedido en la longitud de un radio interno y basándonos en esa información recuperar las longitudes del correspondiente Triángulo de Pitágoras.
Al parecer, el propio Pitágoras, hace muchos años, logró producir una parametrización parcial de las soluciones de ( 1 ) estudiando los Triángulos de Pitágoras, cuyas longitudes de lados más cortos forman una secuencia de números naturales impares consecutivos a = 2n + 1.
En ese caso, para que los números relevantes permanezcan enteros la longitud del lado b y la longitud de la hipotenusa c de un triángulo pitagórico misterioso deben diferir en una unidad: c = b + 1. Por lo tanto, de ( 1 ) tenemos:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Abriendo el paréntesis anterior:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
vemos que los b ^ 2 y los 1 se cancelan:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ etiqueta * {}
lo que quiere decir que:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Volviendo a colocar estos valores en ( 3 ) , descubrimos que:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
¿No es agradable?
Por lo tanto, la referencia de clasificación.
En otras palabras, si nos da un número natural arbitrario n> 0, entonces podremos generar un Triángulo de Pitágoras que tenga exactamente las propiedades que usted solicita:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
lo que significa que la familia de fórmulas anterior enumera la longitud integral del radio interno de un triángulo con las longitudes integrales de sus lados a través de el conjunto de números naturales \ mathbb {N}.
También significa que podemos escribir un programa de computadora, por ejemplo, en el lenguaje de programación C como medio, antes de tiempo que generará los triángulos solicitados a pedido:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Suponiendo que hemos guardado el código anterior en el archivo ptr.c, compárelo así:
gcc -g - o ptr ptr.c
y ejecútelo así:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
donde para una emoción barata, incluimos, dramáticamente, la hipotenusa de longitud 365.
Nuestro programa acepta un montón de números naturales del símbolo del sistema y para cada número n genera un PitágorasTriángulo cuyas longitudes de lados garantizan que la longitud del inradio de ese triángulo es igual al número natural de entrada n.
El formato de nuestra salida es: la primera columna muestra el valor del inradius n, la segunda la columna muestra el valor de a, la tercera columna muestra el valor de by la cuarta columna muestra el valor de c.
Además, el area S de nuestros Triángulos de Pitágoras:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
también se garantiza que sea un número entero porque al insertar los valores de ayb de ( 2 ) a ( 9 ), encontramos:
S = \ dfrac {\ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) 2mn} {2} = \ left (m ^ 2 – n ^ 2 \ right) mn \ etiqueta * {}
que siempre es un número entero.
Por último, la situación con triángulos arbitrarios, leídos – no rectos, es más delicada.
Si dividimos un triángulo de este tipo en tres triángulos más pequeños ajustados, sin espacios y sin superposiciones, como se muestra a continuación (Fig.2):
entonces, porque en este caso el todo es igual a la suma de sus partes, para el área S de tal triángulo tendremos:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
lo que quiere decir que:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
si aceptamos que P es el perímetro completo del triángulo y que p es el semiperímetro del triángulo.
Se deduce entonces que para el valor del radio r tenemos:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Por lo tanto, para que r sea un número entero, entonces P tiene que dividir enteros 2S o p tiene que dividir enteros S.
Por el bien del argumento acordamos nombrar planar non triángulos rectángulos cuyas longitudes son todos los lados y cuyo área es un número entero Diofantino .
Ahora, existen triángulos diofantinos (compuestos) tal que:
- son compuestos sed de dos triángulos pitagóricos a lo largo de un lado común y
- la longitud de su radio interno es no un número entero
Prueba: el área del triángulo diofantino compuesto 5, 5, 6, que se compone de dos Triángulos de Pitágoras 3,4,5 a lo largo del lado b = 4, es 12, mientras que la longitud de su semiperímetro es 8. Pero 8 no divide enteros a 12. \ blacksquare
Hay existen triángulos diofánticos (compuestos) tales que:
- son una composición de dos triángulos pitagóricos a lo largo de un lado común y
- la longitud de su radio interno es un número entero
Prueba: el área de 13,14, 15 triángulo diofántico compuesto, que se compone de dos triángulos pitagóricos 5,12,14 y 9,12,15 a lo largo del lado b = 12, es igual a 84, mientras que su semiperímetro es igual a 42. Pero 42 divide enteros 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
Existen (¿no compuestos?) Triángulos diofánticos tales que:
- no pueden estar compuestos por dos triángulos pitagóricos pero
- la longitud de su radio interno es un entero
Prueba: el área del triángulo 65,119,180 es igual a 1638, mientras que su semiperímetro es 182. Pero 182 divide enteros 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
En un triángulo rectángulo candidato con los lados ayb, el doble del área 2S es igual al producto de ayb, ver ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Por lo tanto, ambos números ayb deben dividir 2S.
¿Es este el caso de nuestro triángulo?
No.
Ninguna de las longitudes de los lados de nuestro triángulo divide la magnitud igual a 1638 \ cdot 2.
He aquí por qué: la factorización prima de 1638 \ cdot 2 es igual a 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
Las factorizaciones primas de las longitudes de los lados de nuestro triángulo son :
65 = 5 \ cdot 13 \ etiqueta * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ etiqueta * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Por lo tanto, la longitud sin altura de nuestro triángulo puede expresarse como un número entero (natural) y, por lo tanto, tal triángulo diofántico no puede expresarse compuesto por dos triángulos pitagóricos a lo largo de un lado común que debe desempeñar el papel de la altura del triángulo objetivo. \ blacksquare
Vemos que para hacer una afirmación amplia sobre la longitud del radio interno de un triángulo diofantino debemos realizar un análisis más cuidadoso de la situación y, con toda probabilidad, mirar triángulos racionales .
Espero no haber complicado demasiado nuestra discusión, pero es lo que es: teoría de números elemental principalmente.