Mejor respuesta
Los números racionales son relativamente sencillos. Son un par ordenado de enteros (m, n) con n \ neq0 bajo la relación de equivalencia:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Leftrightarrow ad = bc
¿Qué? ¿Se suponía que eso era sencillo? Bueno, sí. Todo ese galimatías de equivalencia fue solo para asegurarse de que la mitad fuera la mitad, ya sea (1,2) o (2,4) o incluso (-33, -66). Y todo se sentiría más familiar si escribiera eso como \ frac12 = \ frac24 en lugar de (1,2) \ equiv (2,4) porque 1 \ times4 = 2 \ times2. Pero, estrictamente hablando, así es como comienza una definición rigurosa de números racionales.
Ahora que se trata lo fácil, ¿qué es un número real? A pesar de su nombre y su ubicuidad, los números reales son más bien bestias complicadas. Quizás la construcción más simple que se corresponde con nuestra intuición es la de cortes de Dedekind . Un corte de Dedekind de los números racionales, \ Q, es una partición en dos conjuntos no vacíos (A, B) tales que A \ cup B = \ Q, cada elemento de A es estrictamente menor que cada elemento de B, y A no tiene el elemento más grande. Lo sé, tu cabeza ya está dando vueltas, pero el idea es muy simple: solo estamos cortando la recta numérica en algún punto – todos los Racionales a la izquierda están en A, y todos los Racionales a la derecha (o en el punto) están en B. Si B tiene un elemento mínimo, nuestro corte estaba en un número Racional. Si B no tiene un elemento mínimo, nuestro corte estaba en un Número irracional. Lo siguiente representa s el corte de Dedekind para la raíz cuadrada de dos (un número irracional):
(Fuente: Archivo: Dedekind cut- raíz cuadrada de dos.png – Wikipedia )
De cualquier forma, el corte, (A, B), representa un número real. Dado que B = \ Q \ setminus A, podemos representar un número real por A: un conjunto no vacío de números racionales que se cierra por debajo y no tiene el elemento mayor. En cierto sentido, los números reales irracionales llenan los «huecos» en los números racionales.
Un problema con esta intuición de «huecos» es que los números racionales son densos en los reales – entre dos números reales distintos hay un Racional (de hecho, infinitos Racionales). Esto podría hacerle pensar que hay al menos tantos números racionales como números irracionales. Pero no, la cardinalidad del conjunto de números irracionales es estrictamente mayor que la del conjunto de números racionales. De alguna manera, el número real «al final» del conjunto A de números racionales se une a una serie de otros números reales que no puedo describir en relación con el conjunto A. Como dije, los números reales son bestias complicadas: la mayoría de ellos ni siquiera se pueden describir a pesar de su supuesta «realidad».
Estoy insinuando una diferencia fundamental entre los números racionales y los reales números que realmente requieren un título en matemáticas para comprenderlos correctamente, pero espero que al menos tenga una idea de la diferencia, si no una apreciación completa de las sutilezas.
Respuesta
Los números reales son números entre los números racionales . ¿Qué significa realmente esa afirmación?
Considere la raíz cuadrada de 2. Se puede demostrar que no es racional. Pero podemos averiguar cuál es su valor, con cualquier grado de precisión, identificando todos los racionales que son inferiores a él y todos los racionales superiores. Está entre dos conjuntos de números racionales.
Eso es cierto para cualquier número real, a menos que también sea racional. Para cualquier número real, hay un conjunto de números racionales que son todos menores o iguales a él, y otro conjunto de racionales que son todos mayores o iguales a él, y cada racional está en uno u otro de estos dos conjuntos. . Ese tipo de partición de los racionales es la clave para construir los números reales a partir de los racionales por medio de cortes de Dedekind.
Considere dos conjuntos de números racionales, L (menor) y H (mayor), de manera que cada número en H es mayor que cada número en L, y los dos conjuntos juntos incluyen todos los números racionales. Sabemos que tales conjuntos L y H existen para cada número real que podemos calcular algebraicamente, pero esos no son los únicos conjuntos de este tipo.
En general, L podría tener un número más alto, Lmax ,, o H podría tener un número más bajo de Hmin. En esos casos, Lmax o Hmin sería el límite superior de L y el límite inferior de H, y sería racional. Si ni Lmax ni Hmin existen, y sabemos que no lo harán si creamos los conjuntos a partir de un número irracional conocido, definimos el límite superior de L (que también es el límite inferior de H) como un número real.
De hecho, cada vez que aproximamos un número irracional por una fracción decimal, estamos creando tal partición. Por ejemplo, si decimos que un número irracional es 1.2345 …, lo que estamos diciendo es que es mayor que 1.2345 pero menor que 1.2346, y a medida que escribimos más números en la expansión decimal agregamos más números a los conjuntos que es mayor que y menor que.
Usando estas expansiones decimales podemos derivar una diferencia importante entre los números racionales y numeros reales. Los números racionales son contables ; es decir, se pueden colocar en correspondencia uno a uno con los números enteros. Los números reales no son contables.
¿Cuál es la diferencia entre números reales y racionales?