Mejor respuesta
En primer lugar, \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Ahora, representaré la función raíz cuadrada por su serie de Taylor. Calcularé esta serie de Taylor alrededor de 16, solo para estar a salvo de cualquier molesto radio de convergencia. Luego, aproximaré \ sqrt {20} estableciendo x = 20 en la serie.
La definición de la serie de Taylor de cualquier función anylítica f \ left (x \ right) es la siguiente:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Aquí, f ^ {\ left (n \ right)} denota la enésima derivada de f. Tendremos que calcular muchas derivadas y, con suerte, habrá un patrón algo fácilmente perceptible.
f \ left (x \ right) de ahora en adelante denotará \ sqrt {x}.
La derivada “cero” de f es simplemente f. Tendré f \ left (16 \ right) como el coeficiente del primer término de la serie. (Recuerde, decidí centrar la serie de Taylor en 16 . La raíz cuadrada de 16 es bastante fácil: solo 4 . Cuatro cuatro son 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
De acuerdo. Las cosas se pondrán un poco desafiantes. Ahora tenemos que calcular la derivada de \ sqrt {x}.
La regla de la potencia dice que \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. En este caso, n = \ frac {1} {2} (dado que \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Por lo tanto, \ frac {\ texto {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {X}}. Por lo tanto, el siguiente coeficiente de la serie es \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} o simplemente \ frac {1} {8}.
El siguiente término en la serie de Taylor será, por tanto, f «\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} o simplemente \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Aquí está la suma parcial hasta ahora:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Bien. Ahora, tenemos que calcular la segunda derivada de f \ left (x \ right), o simplemente calcular la derivada de \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Esto requerirá el uso de la regla de la cadena porque tenemos una función compuesta dentro de otra. De aquí en adelante, una función será denotada por g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, y el otro se denotará de ahora en adelante por h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. La función de la cual queremos encontrar la derivada es: f «\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. En otras palabras, queremos encontrar la derivada de g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
La regla de la cadena dice que \ frac {\ text {d}} {\ texto {d} x} g \ left (h \ left (x \ right) \ right) = g «\ left (h \ left (x \ right) \ right) h» \ left (x \ right).
La derivada de g \ left (x \ right) es – \ frac {1} {x ^ 2} (según la regla de la potencia). La derivada de h \ left (x \ right) es \ frac {1} {\ sqrt {x}} (de acuerdo con la regla de potencia y la propiedad que implica \ left (cf \ left (x \ right) \ right) » = cf «\ left (x \ right)).
Ahora tenemos ese \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3}. El tercer coeficiente de la serie es, por tanto, – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (o más simplemente – \ frac {1} {256}).
El tercer término de la serie es: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
La suma parcial completa hasta ahora:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ right) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ cdots
Ahora pasaré a calcular la cuarta derivada de f \ left (x \ right).
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
El cuarto término de la secuencia será \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
La suma ahora tiene cuatro términos:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ derecha) ^ 3} {3!} + \ cdots
Si continuamos con este patrón, obtendremos el siguiente patrón de coeficientes:
\ frac {1} {0.25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Ahora es el momento de encontrar un patrón y expresar el secuencia con una fórmula explícita.
El enésimo denominador se puede representar por b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right) que simplifica a b\_n = 2 ^ {5n-2} (con el valor inicial de n como 0). Eso fue fácil. ¿Qué hay de los numeradores?
Aquí está la serie de numeradores (ignorando la alteración del signo, que se abordará más adelante):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
El patrón de los numeradores es bastante simple. Toma 945 y divídelo entre 105. Obtienes 9. Luego, toma 105 y divídelo entre 15. Obtienes 7. Continuando: 15 dividido por 3 es 5, 3 dividido por 1 es 3 y 1 dividido por 1 es 1. Aquí se involucran productos de números impares.
Por lo tanto, el término \ left (n + 2 \ right) en la secuencia de numeradores (excluyendo la alternancia) es:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right)
La fórmula de los numeradores tiene la forma de notación pi. Sería mejor si se expresara usando la notación factorial de alguna manera.
Si dividimos el producto de los primeros 2n + 2 enteros por el producto de los enteros pares de 2 a 2n, entonces obtendremos el producto de los números enteros impares de 1 a 2n + 1. En otras palabras,
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Ahora podemos quitar la notación pi y reemplazarla con una expresión más pequeña y elegante. Como puede ver, el 2 del término se multiplica por sí mismo n + 1 veces. Entonces, podemos sacar el 2, colocarlo frente a la pi mayúscula y luego elevar el 2 a la potencia de n + 1. Eso nos deja con:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
La ecuación anterior se puede escribir más simplemente como:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}
Puede que ya hayas notado que la serie dada por la expresión directamente arriba está desviada por dos términos. Para solucionar este problema, todo lo que tenemos que hacer es encontrar todos los n en la fórmula del denominador y sumarlos por 2. También tendremos que hacer lo mismo con el resto de los términos con potencias de x.
La fórmula del denominador es finalmente 2 ^ {5n + 8}.
Como cambiamos la serie, todavía tenemos que incluir los que fueron excluidos, en algún lugar de la expresión. Habrá otros términos que aparecerán antes de la notación sigma en la expresión. Estos términos son 4 y \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right).
El coeficiente de cada término de la serie será:
c\_n = \ frac {\ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ left (n + 1 \ right)!}} {2 ^ {5n + 8}}
que se simplifica a:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Esa es la fórmula para el enésimo coeficiente de la serie (esto excluyó los dos primeros términos porque esos términos causarían errores en la fórmula para t\_n).
Ahora podemos comenzar a escribir la notación sigma (recuerde, cambiamos la serie para eliminar los términos atrevidos, por lo que habrá algunas cosas al principio de la notación sigma).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Es una serie alterna que comienza con un negativo, así que tendremos que multiplicar los términos por la (n + 1) ésima potencia de -1.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ right) + \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ in fty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n + 1} \ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 2}} {\ left (n + 2 \ right)!}
Limpiado:
f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ left (n + 1 \ right)!}
¡JA!
Ahora tenemos la serie de Taylor para esta función llamada «raíz cuadrada», que definitivamente no es una cosa en las calculadoras. Ahora, todo lo que queda por hacer es aproximar la raíz cuadrada de veinte usando la serie de Taylor que acabamos de calcular.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ Displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (20-16 \ right) ^ {n + 1} \ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Left (n + 1 \ right)!}
Simplificado:
f \ left (20 \ right) = \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ left (n + 1 \ right) \ left (n! \ right) ^ 2}
Escribí la expresión anterior en Desmos y reemplacé \ infty con 15. Desmos evaluó la suma. Entonces, la raíz cuadrada de veinte es aproximadamente 4.472135955.
Profundicé en esta respuesta porque de otra manera sería lo suficientemente aburrida.
Todos los que pueden usar Internet tienen acceso incluso al la más científica de las calculadoras. La función de raíz cuadrada está siempre disponible 24/7/365. Gracias a ese hecho, comprobaré mi respuesta.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Gracias por leer.
Respuesta
Bueno, intentemos sin calculadora .
Encuentra el número cuyo cuadrado es un poco menor que 20, es 4.
Encuentra uno cuyo cuadrado esté justo por encima de 20 , es 5.
Entonces, 4 qrt (20)
Una vez identificado, calcule la media de estos dos números que es 4.5
AM ≥ GM y GM = √4 * 5 = √20.
Por lo tanto, tenemos √20 .5
Entonces, 4 qrt (20) .5
Calcule 4.5 cuadrado… 4 * 5 + .25 = 20.25…
Es solo un poco alto…
Por lo tanto, la respuesta debería ser alrededor de 4.5, pero no cerca de 4 .
Ahora, intentemos encontrarlo más correctamente
Tome f (x) = sqrt (x)
f «(x) = o.5 / sqrt (x)
Ahora, f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Tome ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f «(x)
(Serie de Taylor truncada al primer orden o puede llamar a Newton Método Raphson)
Ahora, sustituyendo x y ∆x, tenemos,
f (20) = 4.5 -0.25 * 0.5 (1 / 4.5)
= 4.5 – (1/4) (1/9) = 4.5 – .1111 / 4
= 4.5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4.5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2.5 + 0.25]
= 4.5 -0.027775
= 4.472225
Por lo tanto, sqrt (20) ~ 4.472225
Y esto es lo que Google ofreció como respuesta.
¡Entonces, nuestra respuesta no es tan mala!