Mejor respuesta
Depende. Si está buscando una relación necesaria entre los dos parámetros, no existe ninguna.
Sin embargo, para ciertas familias de distribuciones (y particularmente en familias de un solo parámetro) hay una relación necesaria para esa familia. El ejemplo más famoso es la familia Poisson (\ lambda), cuya media y varianza son iguales. En este caso, \ sigma = \ sqrt {\ mu}.
En la familia binomial (n, p), la media es \ mu = np y la varianza es \ sigma ^ 2 = np (1 -p) = (1-p) \ mu. Entonces, en este caso, la relación es p = 1- \ frac {(\ sigma) ^ 2} {\ mu}. En el caso de la distribución binomial negativa (r, p) \ mu = r \ frac {p} {1-p} y \ sigma ^ 2 = r \ frac {p} {(1-p) ^ 2} y La relación de razón es la misma que para la distribución binomial.
Para un ejemplo continuo, la distribución exponencial negativa con el parámetro de tasa \ theta, la media y la desviación estándar son \ theta ^ {- 1}. La relación es la identidad.
Respuesta
¿Cuál es la relación entre la media y la desviación estándar, y la media y la varianza?
En general, no hay relación entre ellos.
Pero si una distribución solo tiene un parámetro desconocido, entonces la media y la desviación estándar (o varianza) son funciones de ese parámetro y por lo tanto están relacionados.
Por ejemplo, la media y la desviación estándar de la distribución exponencial son iguales.
Y la media y la varianza de la distribución de Poisson son iguales (por lo que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la media).
Pero para una distribución con dos o más parámetros no hay relación entre ellos (excepto posiblemente algunas restricciones de desigualdad). Para la distribución normal, la media y la varianza se pueden elegir de la forma que desee.