Mejor respuesta
Hay muchas buenas respuestas escritas para ayudarlo a visualizar lo que significa esta pregunta para llegar intuitivamente a un respuesta de 3. Y nada de lo que escribo aquí tiene la intención de restar valor a esas respuestas. Están ayudando a los nuevos estudiantes a pensar en el vínculo entre las matemáticas y el modelado de una manera concreta, y esa es una habilidad ENORME.
Dicho esto, las matemáticas no son modelos. Entonces, una forma alternativa de pensar sobre este problema es desde una perspectiva puramente matemática. Y si desarrolla esta habilidad, estará trabajando para poder manejar tipos de matemáticas más abstractos que a menudo terminan la carrera matemática de los estudiantes que dependen exclusivamente de un enfoque intuitivo más centrado en el modelo.
Preguntaste «¿Qué es 3/4 dividido por 1/4?»
Justo en el medio de tu pregunta, usaste el término «dividido por». Para un matemático, esa es una pista para buscar inmediatamente la DEFINICIÓN de división. Las definiciones son los ladrillos sobre los que se construyen las matemáticas.
Una definición de división (en este contexto) es:
Dados dos números, ayb (con b \ ne 0), a dividido por b es c si c por b es igual a a.
Ahora sé lo que significa «dividido por». ¿Podemos aplicar esta definición a su problema? Bueno, preguntas aproximadamente 3/4 dividido por 1/4. Parece que tienes dos números (el segundo de los cuales no es cero) y quieres saber el resultado del primero dividido por el segundo. Entonces parecería que esta definición es EXACTAMENTE lo que necesitas.
Así que ahora comienza el juego. La respuesta al problema será cualquier número, c, tal que \ frac 14 \ times c = \ frac 34.
Estas son las buenas noticias. Ahora sabemos cómo comprobar para ver si alguna respuesta es la correcta o no. Simplemente multiplicamos 1/4 por la respuesta del candidato y si el resultado es 3/4, la respuesta del candidato es correcta.
La mala noticia es que si la respuesta del candidato NO es correcta, no estamos más cerca de encontrar la respuesta correcta. En otras palabras, la definición no nos ayuda a ENCONTRAR la respuesta correcta. Solo nos ayuda a verificar si la respuesta de un candidato es correcta.
Entonces, ¿qué podemos hacer? La prueba y el error para siempre parece una mala idea. Parece que ha llegado el momento de inventar una regla que siempre nos dará la respuesta correcta.
Propongo esta regla. Dados dos números a y b \ ne 0, a dividido por b siempre debe ser igual a a multiplicado por el recíproco de b (a menudo denotado como \ frac 1b).
Antes de que podamos usar esta regla, por supuesto, debemos asegurarnos de que siempre funcione. Eso es lo que llamamos una prueba. La prueba aquí es fácil ya que la regla me da una solución candidata y la definición me dice exactamente cómo verificar una solución candidata.
¿Es cierto que a \ times \ frac 1b = a dividido por b? Bueno, la definición dice que la respuesta será c si c por b es igual a a. Entonces, ¿podemos multiplicar nuestro candidato, a \ times \ frac 1b por b para obtener a? Dado que la multiplicación es conmutativa, claramente podemos. Y la regla está probada. (Acabamos de demostrar nuestro primer teorema sobre la división. Si las definiciones están en los cimientos de las matemáticas, los teoremas y las demostraciones son el cemento que los mantiene unidos y les permite ser utilizados para construir grandes estructuras).
Así que Parecería que la respuesta a nuestro problema es que 3/4 dividido por 1/4 debe ser igual al producto de 3/4 por el recíproco de 1/4. ¡Excelente! ¿Verdad?
Bueno, ahora hemos cambiado nuestro problema de división en dos problemas. Uno es un problema de multiplicación. La otra es «¿Cómo encuentro el recíproco de 1/4?»
Asumiré que sabes cómo multiplicar números, así que realmente solo tenemos una pregunta sobre cómo encontrar recíprocos. Realmente, este es solo otro problema de división. Realmente, ahora te estoy pidiendo que encuentres 1 dividido entre 1/4. Eso no parece una victoria al principio porque he vuelto a hacer división. Pero afirmo que es una victoria porque pasamos de tener que averiguar cómo dividir CUALQUIER a por b a tener que encontrar 1 dividido por b para cualquier b distinto de cero. Y la buena noticia es que es FÁCIL aprender a adivinar el recíproco correcto. Y una vez que lo adivinas, puedes verificarlo ya que eso es exactamente lo que la definición te dice cómo hacerlo.
El recíproco de 1/4 es 4. Podemos verificar que dado que el recíproco significa 1 dividido por 1 / 4, y la definición dice que 4 es la respuesta siempre que 4 multiplicado por 1/4 da 1. Y de hecho eso es cierto.
Así que finalmente, hemos aprendido que 3/4 dividido por 1 / 4 es igual a 3/4 por 4. Y como sé multiplicar (por ejemplo, sumando 4 copias del número 3/4), concluyo que la respuesta es 3. Y si tengo mucho cuidado, regrese y verifique el resultado usando la definición solo para asegurarse de que no cometí ningún error. Entonces, ¿1/4 multiplicado por 3 es igual a 3/4? De hecho lo es, por lo que ahora se ha verificado que 3 es la solución correcta.
Ahora, esa respuesta parece REALMENTE larga y complicada, especialmente para un recién llegado a las matemáticas. Lo entiendo.De hecho, obtendrá la respuesta mucho más rápido con una calculadora o Google o utilizando algunas técnicas (no probadas para usted) que la mayoría de nosotros aprendemos temprano en la escuela. Pero ese no es el punto en absoluto.
Lo que realmente aprendimos no es la respuesta a ESTE problema. Lo que realmente aprendimos es que dividir CUALQUIER DOS números requiere que sepamos cómo hacer dos cosas. Primero, tenemos que saber cómo dividir UNO por cualquier número (distinto de cero) para obtener un recíproco. Y segundo, tenemos que saber cómo multiplicar dos números cualesquiera. Y esa verdad es mucho más interesante y profunda que conocer la respuesta a esta pregunta. Perdone la metáfora usada en exceso, pero le está enseñando a un hombre a pescar en lugar de darle un pescado.
Y el poder real es que coloca la división en un contexto que permite que se pueda generalizar. Y las generalizaciones de la división de dos números conducen a ideas importantes. ¡Y de eso se tratan realmente las matemáticas!
Respuesta
Michael Lamar explica muy bien en su respuesta por qué comprender la noción abstracta de división es matemáticamente más importante que la respuesta específica a \ frac34 \ div \ frac14, así que me sumergiré directamente en la generalización:
¿Qué es \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
En a Campo cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo único a «tal que
\ quad a \ times a» = a » \ times a = 1 la identidad multiplicativa.
La división se define en términos de multiplicación:
\ quad b \ div a \ equiv b \ times a «
El inverso multiplicativo de una fracción se obtiene invirtiendo la fracción porque:
\ quad \ frac {p} {q} \ times \ frac {q} {p} = \ frac {p \ times q} {q \ times p} = 1 por lo tanto \ left (\ frac {p} {q} \ right) «= \ frac {q} {p} (excepto p = 0).
Por lo tanto, nuestra división está dada por:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ veces \ frac {q} {p} = \ frac {n \ tiempo s q} {m \ times p}
Para un matemático en ciernes, esto responde a la pregunta, al menos en el contexto de un campo. El verdadero matemático (puro) entonces querrá ver cómo pueden generalizar más.
Otros estarán más interesados en obtener la respuesta específica a la pregunta original instanciando n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 para obtener:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ times4} {4 \ times1} = \ frac {12} {4}
Aún no del todo 3 pero puedes llegar allí con un poco más de abstracción: un ejercicio que dejaré al lector interesado.
Por cierto, para ese matemático en ciernes, es posible que desee comprobar que en el campo finito \ mathbb F\_5 tenemos:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12 porque \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 y \ frac12 \ equiv3