Mejor respuesta
Se puede responder de tres formas.
- 2,00,00,000 – Esto es 2 crore. El número de ceros es 7.
- 2 crore: aquí no hay ceros. Solo 2 y crore, todavía crore tiene o no puede considerarse como cero.
- 2,00,00,000 significa, ceros que están en números = 2,00,00,000 va de un rango de infinito negativo a 2 crore. Las supercomputadoras tampoco pueden calcular el número de ceros en el rango mencionado anteriormente.
Respuesta
La pregunta, «¿Por qué cualquier número elevado a la potencia de cero es igual a uno pero cero elevado a la potencia de cero no da respuesta? es contradictorio. Afirma que cualquier número (sin indicar lo que constituye un número) se eleva a un exponente de 1 sin ninguna excepción (como a través de texto como «cualquier número excepto \_\_\_»), y luego procede a afirmar que 0⁰ «no da ninguna respuesta». Bueno, dado que 0 es un número, la primera afirmación significa 0⁰ = 1 mientras que la segunda afirmación dice que 0⁰ no está definido; no podemos tener ambas verdaderas.
De hecho, la primera afirmación debe considerarse incondicionalmente verdadera y la segunda afirmación como falsa; por lo tanto, 0⁰ = 1.
Los argumentos habituales que piden que 0⁰ se considere indefinido:
- 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, que no está definido, por lo que 0⁰, que se ha demostrado que es igual a 0/0, también debe estar indefinido. (Algún valor positivo puede ser sustituido por 1). Esto está intentando usar una ley de división de poderes, pero es un intento inválido. La ley de división de poderes relevante no es simplemente x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, sino que tiene restricciones o condiciones que deben establecerse y cumplirse. Una de las varias restricciones es que no se permite que ninguna parte de la aplicación de esta ley de división de poderes involucre una división por 0 o un recíproco de 0. Esa restricción ha sido violada, por lo que no podemos escribir 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹. Debido a que la igualdad para el paso del medio no se cumple, no podemos decir que el extremo izquierdo sea igual al extremo derecho. El mismo argumento inválido puede usarse para demostrar que 0³ no está definido, lo que sabemos que no tiene sentido: 0¹ = 0 por definición del exponente 1; 0² = 0¹⁺¹ = 0¹ × 0¹ = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, que no está definido.
- x ^ 0 = 1 para todos los x distintos de cero . 0 ^ x = 0 para todos x distintos de cero. Si dejamos x = 0, entonces las declaraciones anteriores implicarían 0⁰ = 1 y 0⁰ = 0, lo cual es una contradicción, por lo que 0⁰ debe ser indefinido. Cuando las personas hacen este argumento, no se detienen lo suficiente para pensar en lo que están diciendo. La segunda declaración es válida para, y solo para, x real positivo. Es incorrecto decir “para todos x ” distintos de cero para la segunda relación. Sin embargo, la primera relación es válida para x real negativo, así como para x real positivo. >, además, más allá de eso, la primera relación es verdadera para todo complejo distinto de cero y cuaternión x , algo que la segunda relación no puede decir. No tiene sentido dar el mismo peso a un caso que solo funciona para valores reales positivos que a un caso que funciona para todos los valores reales, complejos y de cuaternión distintos de cero; la generalidad mucho más amplia de este último vale mucho. Además, para la segunda relación, el caso x = 0 en cuestión se encuentra en el límite entre los casos significativos y los no significativos, entonces, ¿por qué asumiríamos que los casos significativos ¿Cuáles son los que aplican y que se aplican sin ajuste?
- El límite de x ^ y como x y y el enfoque 0 de forma independiente no existe porque el valor de la tendencia depende de la ruta de enfoque de x y y hacia 0: hay una amplia banda de valores posibles. (A veces, este argumento se combina con el n. ° 2 anterior). El problema con este argumento es que si una función está definida en un punto y, de ser así, cuál es el valor, es independiente de si la función tiene un límite que se acerca a ese punto y, si es así, ¿cuál es el valor del límite? Es muy posible que ninguno exista; es muy posible que exista uno pero no el otro; es muy posible que existan ambos, en cuyo caso los dos valores pueden ser iguales o no. Como resultado, el hecho de que x ^ y no tiene un límite como x y y El enfoque 0 no dice nada sobre si 0⁰ está definido o no. La discusión de los límites con respecto a si 0⁰ tiene un valor es totalmente irrelevante.La función signum es un ejemplo de una función con un límite dependiente de la ruta cuando x se acerca a 0 pero sgn 0 está definido; en particular, sgn x se define como 1 para x real positivo, 0 para x = 0 y −1 para x real negativo, por lo que x acercándose a 0 desde la izquierda produce un límite de -1 y x acercándose a 0 desde la derecha produce un valor de 1, y el conflicto significa que el límite no existen, aunque sgn 0 = 0. Tal falta de límite no nos justifica para decir que sgn 0 debe ser indefinido.
Eso elimina los argumentos más comunes que se utilizan para justificar considerando 0⁰ como indefinido, por lo que ahora surge la pregunta de qué valor, si hay alguno, debería definirse como 0⁰.
El argumento fundamental involucra el principio de operación nulary aplicado a multiplicar icación. El producto de ningún factor debe considerarse como la identidad multiplicativa 1; simbólicamente, \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. (Para calcular x ⁰, x\_i = x; para calcular 0 !, x\_i = i.) Esta propiedad no depende de si todos los candidatos x\_i son distintos de cero, si algunos son distintos de cero y algunos son 0, o si todos son 0. No hay casos de excepción. ¡Por lo tanto, tenemos 0! = 1 y tenemos x ⁰ = 0 sin restricción para todos los cuaterniones (no solo todos los números reales, no solo todos los números complejos), entonces 0⁰ = 1.
El otro criterio clave es la utilidad. Los matemáticos definen las cosas porque son útiles para su investigación. Si una definición no es útil, no tiene sentido hacerla, entonces, ¿0⁰ = 1 es realmente útil, además del punto de vista de la regla del producto vacío? La respuesta es un sí rotundo. Toma la serie de potencias para \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Los matemáticos han demostrado que esta serie de potencias converge para todos los números complejos x y que el resultado es de hecho \ text {e} ^ x. Dado que 0 es un número complejo y esta serie de potencias funciona para todos los números complejos, debe funcionar para x = 0. Primero, expandamos la suma: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Entonces, ¿qué sucede con x = 0? Tenemos: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….
Sabemos que 0 elevado a un exponente positivo es 0, que se aplica a todos los términos excepto al primero en el lado derecho de =; todos esos términos no hacen nada para que puedan desaparecer. También sabemos que cualquier número complejo distinto de cero elevado a un exponente de 0 es igual a 1, ye es un número complejo distinto de cero, por lo que \ text {e} ^ 0 = 1. Por lo tanto, ahora tenemos: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Los matemáticos están de acuerdo en que 0! = 1 (regla del producto vacío). Por lo tanto, 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Mire lo que acabamos de determinar: 0⁰ = 1. Para que esta serie de potencias funcione, debemos tener 0⁰ definido como 1 o escribir una advertencia especial con la serie de potencia que aplica para, y solo para, complejo distinto de cero x y declara explícitamente por separado que e⁰ = 1. ¿Por qué una complicación tan innecesaria de expresar la serie de potencias solo para evitar definir 0⁰ = 1 sin una razón sustancial?
Lo mismo se aplica a muchas otras series de potencias, a los polinomios, al teorema del binomio, a varios problemas de combinatoria ya otras aplicaciones. Hay muchos casos de simplificación y generalización significativas que ocurren, entonces definimos 0⁰ = 1.
No existe ningún caso en el que sea útil considerar que 0⁰ se define como un valor distinto de 1 ni como considere 0⁰ como indefinido. La situación más cercana que surge es en ciertas situaciones en la investigación en análisis real donde es útil que las funciones sean continuas en todo su dominio. Debido a los problemas con los límites para x ^ y acercándose a (0; 0), eso hace que x ^ y sea discontinua en (0; 0), independientemente de si 0⁰ está definido y, de ser así, con qué valor. Retirar un punto del dominio es considerar la función como indefinida en ese punto. Sin embargo, el hecho de que sea útil extraer (0; 0) del dominio de x ^ y para su investigación, no significa que deba hacerse en todos los aspectos de las matemáticas. Es posible que deba lidiar con funciones biyectivas para admitir la invertibilidad. Si estoy trabajando con x ² y necesito invertibilidad, debo restringir el dominio a algo como el conjunto de números reales no negativos, lo que significa para mis propósitos que (- 3) ² no está definido, lo que sería una restricción ridícula imponerle; Asimismo, que algunos matemáticos necesiten 0⁰ indefinido no significa que sea una restricción impuesta a todos los matemáticos.De hecho, la regla del producto vacío prevalece en el contexto de exponentes enteros, mientras que los problemas con la continuidad ocurren solo en el contexto de exponentes reales. Una posible solución es considerar 0⁰ = 1 cuando el exponente es un entero 0 pero no definido el exponente es un 0 real; Si esto le parece extraño, la respuesta depende de si un valor se considera un número entero frente a un número real más general, esto no es exclusivo de 0⁰ para la función de potencia, ya que (-8) ^ {1/3} es se considera −2 si −8 se considera un número real, pero es 1 + i√3 si −8 se considera un número complejo. La función de potencia x ^ y parece tan simple pero tiene un comportamiento realmente desagradable.