Mejor respuesta
La respuesta corta es, sí, el rango de una matriz es el mismo que su espacio de columna, pero hay una sutileza.
Dado un número m, podemos ver este número como una constante, o como un medio para definir una función lineal, f (x) = mx. De manera similar, podemos ver una matriz \ mathbf {M} como una matriz de números (aburrida) o como un medio para definir una función lineal f (\ mathbf {x}) = \ mathbf {M} \ mathbf {x}.
El término rango se refiere al conjunto de resultados que f () puede devolver y normalmente se define como una propiedad de funciones, no de números.
El espacio de columna , por otro lado, se define típicamente como una propiedad de la matriz misma. Y dado que el espacio de columna es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles (también conocidas como span ) de las columnas de \ mathbf {M}, esto se puede escribir como \ {\ mathbf {M} \ mathbf {x} | \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} \}, que es el mismo rango de f anterior.
Respuesta
El rango de una matriz es el rango de la matriz visto como una transformación lineal. Una matriz A n-por-p (real) también es una transformación lineal de R ^ p a R ^ n (el espacio euclidiano p- dimensional al espacio euclidiano n-dimensional). El dominio es R ^ p y el rango consiste de todas las combinaciones lineales de las columnas de A, es decir, el conjunto \ {Ax: x \ en R ^ p \} (xa vector de columna).
Si A tiene rango p, entonces el rango tiene rango p, y esto es posible si n> = p.
Lo mismo se aplica para una matriz compleja A como una transformación lineal de C ^ p a C ^ n donde C es el campo de números complejos.