Mejor respuesta
Sí, son lo mismo. El valor de verdad de la conectiva lógica «si p el q», o p => q, es falso sólo cuando p es verdadero yq es falso. En cualquier otro caso, es cierto. Piénsalo de esta manera: si te dijera «te veré si el clima es cálido» (aquí p – el clima es cálido, q – te veré) y el clima no era cálido, no importa si te visité o no, no mentí. Esta oración será una mentira solo si el clima fue cálido y no te visité.
Nosotros podemos dibujarlo en una tabla de verdad:
pqp => q
TTTTFFFTTFFT
Por lo tanto, si q es falso, y mantenemos la declaración «si p entonces q «para ser cierto, podemos estar seguros de que p es falso; ya que, por definición, si p fuera cierto, q también debe serlo. Por tanto, p => q es equivalente a «p sólo si q». Si no mentí cuando dije que te visitaría si hace calor, y no te visité, puedes estar seguro de que no fue cálido.
Ese es también el significado exacto del enunciado «q es una condición necesaria ap»: eso significa que para que p sea verdadera, q debe ser verdadera (aunque si q es verdadera, p puede ser verdadera o falsa). Si no te mentí y no te visité, puedes estar seguro de que no hacía calor; pero si te visité, no puedes saber si hacía calor o no: también puedo visitarte cuando no hace «t warm.
Respuesta
Como preguntaste acerca de (~ P o Q), la tabla de verdad mostrará su verdadero:
Sin embargo, sospecho que eso no le dará la intuición que esperaba (aunque la tabla de la izquierda será útil más adelante). Personalmente, creo que ~ P OR Q no es una forma intuitiva de pensar en ello, sino que intentaré darte una intuición de lo que una implicación (al menos lo que creo y tiene sentido para mí) está tratando de captar intuitivamente y así responder a tu primera parte, por qué es falso solo cuando P es verdadero y Q es falso.
Lo primero es pensar en una implicación si q \ implica q como un solo enunciado, es decir, toma dos proposiciones y devuelve verdadero o falso. Ahora que lo consideramos un «objeto» completo, considere el siguiente ejemplo:
Si «gano las elecciones», entonces «los impuestos bajarán.
donde el antecedente p = “yo gano las elecciones” y la consecuente q = “bajarán los impuestos”. Por mucho que quisiera haber evitado, piense en una implicación como una promesa de un político, una persona o un matemático. Ahora consideremos las 4 opciones de los valores de verdad para el antecedente py el consecuente q.
- Si ambos son verdaderos (primera fila de la tabla de verdad), entonces ¿qué puede decir de la promesa como un ¿todo? es decir, ¿sobre la implicación en su conjunto? ¿Qué puedes decir del político? Bueno, si el político ganó las elecciones y luego los impuestos bajaron, ¡entonces la promesa, por supuesto, NO es una mentira! es decir, ¡dijo la verdad! Huray, primera fila explicada
- ¿Qué pasa si una es verdadera y la otra es falsa? Bueno, si el antecedente es cierto, entonces significa que ganó las elecciones, pero si lo que sigue no es una disminución de los impuestos, ¿qué puede decir de la promesa en su conjunto? ¡El político mintió ! Entonces, por supuesto, uno debería considerar la implicación como un todo falso.
- Pero, ¿y si no ganaba? es decir, el antecedente es falso. Si eso sucede, no importa lo que suceda después, la promesa del político no puede considerarse una mentira . En otras palabras, si no gana y los impuestos suben, ¿nos mintió? Bueno, no y eso es todo. No mintió porque cualquier cosa podría seguir si pierde y pase lo que pase no convierte al político en un mentiroso (ni hace que la implicación sea falsa).
- Para enfatizar la última fila de la tabla de verdad con nuestro ejemplo, si el político NO ganó y los impuestos NO bajaron, ¿se le puede culpar por mentir? No, no se puede culpar al político de mentir porque no prometió nada si no ganaba.
Para mí, si se piensa en las implicaciones de todo un objeto matemático que puede tener algo de verdad, entonces es realmente obvio por qué las implicaciones se definen como son.
Otra forma de pensar es que si el antecedente es verdadero, debería NUNCA implica una declaración falsa. Por lo tanto, cuando la gente se sentó a decidir cómo se debería definir la tabla de verdad para una implicación como, decidió que si el antecedente es verdadero y la consecuencia es falsa, entonces la implicación no debería sea verdad. Por el contrario, probablemente pensaron que si el antecedente es falso, entonces cualquier puede seguir porque la suposición inicial no t hold , por lo que cualquier cosa puede ser consecuencia de una declaración inicial falsa.En otras palabras, si comienza con una suposición falsa, debería poder concluir (lógicamente) cualquier cosa tonta que pueda imaginar (¡por supuesto, ya que comenzó a partir de una suposición!).
¡Espero que esto ayude!
(el ejemplo no es mío, pero lo encontré en línea como hace 2 años y pensé que sería bueno compartirlo)