Mejor respuesta
Ninguna oración es gramaticalmente correcta. Ambos tienen un desajuste entre la palabra singular «entrega» y la palabra plural «ellos». Debe decir: «Acelere la entrega ya que nuestro cliente lo necesita con urgencia», o si hay más de un paquete, «Por favor, acelere las entregas ya que nuestro cliente las necesita con urgencia». En cuanto a qué oración debe usar después de corregir esa discrepancia, dependerá de si está recibiendo el envío para usted o en nombre de un cliente, y si se lo entrega a usted o al cliente. Si el artículo se le entrega para su propio uso, el segundo sería el correcto. No se referiría a sí mismo en tercera persona como «el cliente». Si se lo envía para uno de sus clientes, puede usar cualquiera de ellos. Si se envía directamente al cliente, utilizará el primero. Aunque es probable que al remitente no le importe quién lo necesita con urgencia, por lo que podría simplemente decir «Se necesita con urgencia».
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Hay diferencias en el significado de los dos frases: «nuestro cliente» no es «nosotros».
La segunda aparición de «necesitar» debería ser «necesidad» y no «necesidades».
Es una pena que solo tener una sentencia tan limitada. No sabemos de qué se trata. Me sentiría tentado por: «por favor, agilice la entrega ya que nuestro cliente necesita los productos / esos dispositivos / esos artículos (esos …) con urgencia». Para ser más precisos.