Mejor respuesta
Una vez estaba enseñando matemáticas a algunos estudiantes de secundaria en una escuela privada exclusiva. Tenía un estudiante que era arrogante y constantemente me molestaba a mí y a los otros estudiantes. La administración no apoyó mis intentos de disciplinarlo. Se me ocurrió esta solución:
Le dije que si podía encontrar un patrón para los números primos, de modo que pudiera predecir el siguiente, podría ganar mucho dinero y ser famoso. Le gustó este desafío y comenzó a dedicarse a él. Tenía páginas y páginas de cálculos y nunca más me molestó. De vez en cuando mostraba algún interés en su trabajo y él decía algo como: «Creo que estoy en algo …»
Sabía que no encontraría nada, porque sabía que no existe un patrón para los números primos. Puede haber algunas áreas locales donde parece que hay un patrón, pero no hay un patrón general ni una fórmula para predecir el SIGUIENTE número primo sin PRUEBA.
Piénselo de esta manera. Eres un hombre del Paleolítico que se da cuenta de que 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son primos. Te preguntas cuál será la próxima prima. No hay forma de encontrarlo sin algunas pruebas. Puede probar 14. Nop. 15, no. 16, no. 17, Bingo.
Solo necesita probar los factores hasta la raíz cuadrada del número inclusive (en el caso de 17: 2, 3 y 4) porque el siguiente número será demasiado grande, pero necesitas PRUEBA. Esta prueba lleva mucho tiempo computacionalmente. Esta es la base actual de la criptografía. Si pudiéramos predecir el próximo primo, todas nuestras contraseñas estarían desnudas.
Los matemáticos parecen odiar admitir que existe este CAOS en medio de los números, pero lo hay, y lo encuentro encantador.
¿Cómo sé que no hay patrón?
Patrón: (definición de diccionario) • un arreglo o secuencia que se encuentra REGULARMENTE en objetos o eventos comparables. • una forma o secuencia REGULAR e inteligible discernible en determinadas acciones o situaciones.
Entonces, un PATRÓN implica REGULARIDAD o REPETICIÓN. REPETICIÓN implica MULTIPLICACIÓN porque MULTIPLICACIÓN es ADICIÓN REPETITIVA. La multiplicación implica FACTORES, y no podemos tener factores si es primo.
Calcular: (definición) determinar (la cantidad o número de algo) matemáticamente. No determinamos si un número es primo MATEMÁTICAMENTE. Lo hacemos EXPERIMENTEMENTE.
Creo que los números primos no tienen un PATRÓN pero parecen tener ciertas TENDENCIAS. Tienden a volverse más ESPAROS a medida que aumentan las cantidades, pero de repente … ves dos juntos. Estos se denominan primos gemelos. Ejemplos: (41, 43), (137, 139). Nadie sabe si los primos gemelos, como los primos, son infinitos. No se ha probado.
Wikipedia: «El par primo gemelo más grande conocido actualmente es 2996863034895 · 2 ^ 1290000 ± 1 con 388,342 dígitos decimales. Fue descubierto en septiembre de 2016 «. Twin prime – Wikipedia
Al igual que con los primos mismos, no hay forma de predecir cuándo vendrán estos primos gemelos a lo largo. (PODRÍA ser posible probar si alguna vez terminan. Pruébelo).
Algunas personas piensan que hay «patrones» en la Espiral de Ulam. Espiral de Ulam – Wikipedia
SIN EMBARGO, si descargas la figura y la haces explotar, verás emerger algunas líneas rectas y luego DESAPARECER. Los números primos son infinitos. Entonces, por supuesto, estadísticamente (en nuestro sistema ARBITRARIO Base 10) aparecerán algunas líneas rectas a veces, como cuando al lanzar monedas a veces obtendrás una gran cantidad de caras.
(Además, la espiral de Ulam usa cuadrados. Creo que aparecerá una espiral diferente si usas otras formas de relleno de áreas: triángulos o hexágonos.)
La ciencia consiste en encontrar patrones para predecir. Podemos predecir cuándo será el próximo eclipse lunar, podemos predecir cuándo saldrá el sol mañana, podemos predecir cuándo el agua se congelará y hervirá, pero NO PODEMOS predecir el próximo número primo.
Resumen: Es posible que pueda levantar la serpiente, pero no sabe en qué dirección girará.
Nota: Esta respuesta es principalmente basado en mi respuesta anterior aquí:
La respuesta de Bill Lauritzen a ¿Hay un premio para quien descubra el patrón en números primos?
Respuesta
Es Es cierto que la distribución de números primos puede parecer aleatoria (y lo es hasta cierto punto). Sin embargo, las herramientas de la teoría analítica de números nos brindan una visión crucial de la distribución de los números primos y revelan muchos patrones interesantes
Sea \ pi (x) el número de números primos \ leq x donde x es una variable real positiva.
De acuerdo con el teorema de los números primos , del cual no conozco una buena demostración elemental (la más simple que conozco usa análisis complejo), lo siguiente es cierto para \ pi (x) cuando x se acerca al infinito:
\ pi (x) \ sim \ frac {x} {\ log x}
El ~ representa asintótico equivalencia, cuya idea principal es que la función \ pi (x) se acerca mucho a la función \ frac {x} {\ log x}, con una aproximación cada vez mejor a medida que x crece cada vez más.
Para aquellos familiarizados con el cálculo elemental, f (x) \ sim g (x) si el límite cuando x se acerca al infinito de \ frac {f (x)} {g (x)} es 1.
Como es habitual en matemáticas superiores, log representa el logaritmo natural. Esto también implica que si p (n) representa el n-ésimo primo, entonces:
p (n) \ sim n \ log (n)
Otro colorario fácil es que si Si elige un número entero aleatorio de los primeros n números enteros positivos, la probabilidad de que sea primo es de aproximadamente \ frac {1} {\ log n}
Otra forma del teorema de los números primos que es un poco menos intuitiva pero empíricamente más exacto es el siguiente:
\ pi (x) \ sim \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
En ambos casos, la izquierda El lado es un número entero, mientras que el lado derecho es una función trascendental horrible (que podemos evaluar un poco más fácilmente que el izquierdo, por extraño que parezca). En cualquier caso, tiene que haber algún error si aproximamos \ pi (x) como \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt
Aún no conozco el mejor límite de error probado, pero si la hipótesis de Riemann resulta ser cierta, podemos mejorar la error vinculado a:
\ pi (x) = \ int\_2 ^ x \ frac {1} {\ log t} dt + O (\ sqrt {x} \ log (x))
De manera similar, si el límite de error es verdadero, también podemos probar el Riemann hipótesis. Lo que pasa con este límite de error es que es estricto: sabemos que no podemos hacerlo mejor.
Yo diría que el teorema de los números primos es probablemente el resultado más importante e interesante en la teoría analítica de números
tl; dr, los números primos siguen asintóticamente una distribución que es como una función analítica relativamente fácil, así que sí, hay un patrón.