Mejor respuesta
¿Por qué se usa k como constante de proporcionalidad?
No solo k . a, b, c, d, m, n, p, q son algunas letras del alfabeto romano que se utilizan con frecuencia como constantes.
\ alpha, \ beta, \ gamma, \ eta, \ kappa, \ lambda, \ mu, \ pi, \ rho, \ tau y \ omega son algunas letras del alfabeto griego que se utilizan con frecuencia como constantes.
Volviendo a tu pregunta, nadie sabe a ciencia cierta por qué. Pero creo firmemente que k se usa como constante en casi todas partes, porque la palabra alemana para constante es konstante https://translate.google.com/#en/de/constant . ¿Y adivina qué? La primera letra de esa palabra es k . Y los alemanes contribuyeron enormemente a las matemáticas desde sus inicios.
Me hacen creer de esta manera, no solo como constante de proporcionalidad, k también denota algunas constantes especificadas https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical\_constant. Por ejemplo, constante de Boltzmann , constante de Sierpiński , Constante de Khinchin , Constante de Landau – Ramanujan , por nombrar algunos. Solo puedo suponer que ellos (los matemáticos interesados o los que los nombraron) estaban al tanto y afectados por la palabra alemana konstante.
Eso es todo. Gracias por leer.
Respuesta
Esta pregunta resalta muy bien en qué se diferencia la física de las matemáticas.
Recuerde, el propósito de cualquier ecuación en física, incluida la segunda ley de Newton, es simplemente modelar una relación «en el mundo real». Eso significa qué cantidades elegimos que sean constantes y cuáles elegimos que sean variables dependen completamente de la situación física que la ecuación debe modelar.
Con eso en mente, vayamos a la segunda ley de Newton. El propio Newton no expresó originalmente su ley de esa manera. Más bien, lo expresó (en palabras) como
\ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt}
Donde \ mathbf {F} es la fuerza (fíjate, la Fuerza es un vector), \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} es la tasa de cambio del momento \ mathbf {p} (también un vector).
Es Es posible interpretar esto como una definición para fuerza, y bajo esa interpretación no es realmente significativo insertar una constante de proporcionalidad porque una definición de una cantidad típicamente dice nosotros en los términos más directos cuál es esa cantidad en términos de otra cantidad.
Como está escrito, este es, por supuesto, un conjunto de tres ecuaciones, que especifican la dirección de la fuerza en el espacio. Sin embargo, en muchas situaciones, la física de la situación es tal que puede que solo nos interese la magnitud de la fuerza, y luego esto se simplifica a
F = \ frac {dp} {dt}
Ahora, la magnitud del impulso viene dada por p = mv. La expresión más general para la derivada temporal de esta cantidad es
\ frac {dp} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt}
El primer término de la derecha representa un objeto que se mueve a una velocidad constante mientras su masa cambia, mientras que el segundo representa un objeto con una masa constante que se mueve a una velocidad cambiante. Ahora, las situaciones en las que normalmente estamos interesados en modelar toman la masa del objeto como una constante. Eso significa
\ frac {dm} {dt} = 0
Y, por tanto, el primer término desaparece. Nos queda
F = m \ frac {dv} {dt} = ma
Y ahora debería ser obvio: En esta ecuación, la constante de proporcionalidad es m .
De hecho, si hubiéramos querido modelar, digamos, un cohete que se mueve a una velocidad constante pero que está perdiendo masa (es decir, su masa cambia con el tiempo) porque está expulsando combustible como escape que lo impulsa hacia adelante, en su lugar escribiríamos
F = v \ frac {dm} {dt}
Porque una velocidad constante significa
\ frac {dv} {dt} = 0
Y por lo tanto, el segundo término de la expresión general anterior desaparece. Entonces, en esta ecuación, la constante de proporcionalidad es v.
Lo que esto muestra, espero, es que cualquier cosa que consideremos la constante de proporcionalidad depende enteramente de los eventos del mundo real y de las relaciones entre ellos. Por ejemplo, m se convirtió en una constante de proporcionalidad entre las magnitudes de fuerza y aceleración precisamente porque queríamos modelar una situación en la que la masa del objeto era constante.De manera similar, v se convirtió en una constante de proporcionalidad entre la magnitud de la fuerza y la tasa de cambio de masa en el tiempo precisamente porque queríamos modelar ese tipo de situación.
Permítanme contrastar esto con cómo un enfoque puramente matemático podría parecer. Recuerde, la distinción ahora es que realmente no nos importa que las ecuaciones modelen la realidad, solo nos importa que sean consistentes (y, por supuesto, que conduzcan a nuevas matemáticas interesantes). Entonces, haciendo solo matemáticas, soy perfectamente libre de considerar la masa en las unidades que quiera. Para aclarar el punto, elijamos algo ridículo, como «manchas» como unidades de masa. Para preservar la coherencia (y solo por esa razón) tengo que definir la relación entre las manchas y las unidades estándar como kilogramos. Digamos que defino
1 kilogramo = 3 gotas
Bueno, con mis nuevas unidades, ahora necesito insertar una constante de proporcionalidad en la ecuación, ya que las unidades de Fuerza, Newtons , no tienen manchas en ellos. Entonces, considerando la masa en unidades de manchas, abreviado por bb, F = ma se convierte en
F = \ frac {1} {3} kma
Donde
k = \ frac {1kg} {1bb} es mi constante de proporcionalidad. O, si soy un poco más eficiente matemáticamente, escribo
F = k «ma
Donde
k» = \ frac {1kg} {3bb } es mi nueva constante de proporcionalidad que acaba de absorber la constante \ frac {1} {3}.
El punto de todo esto es que estas manipulaciones son puramente matemáticas. Las distinciones involucradas no tienen nada que ver con las relaciones del mundo real que la ecuación debe modelar. No tienen contenido de física y es por eso que esencialmente nunca ves nada como esto *.
En la mayoría de las situaciones, las únicas constantes de proporcionalidad que ves en la física son las que nos impone la física del situación.
(* Digo «esencialmente» porque hay algunas situaciones, especialmente en el electromagnetismo, donde estos problemas surgen debido a diferentes tradiciones de representación de cantidades, pero la mayoría de los físicos no los consideran «problemas de física» )