Mejor respuesta
2 + 2 =? parece ser uno de los problemas más fáciles de las matemáticas y probablemente uno de los primeros que haya encontrado. Si Kate tiene 2 manzanas y Matt le da 2 manzanas más, entonces ella tiene 4 manzanas. Obviamente.
Pero, ¿y si te dijéramos que 2 + 2 =? ha dejado perplejos incluso a algunos de los matemáticos más inteligentes porque no necesariamente tiene que ser igual a 4? Probablemente se esté preguntando cómo es posible. Una prueba es: un conjunto de pasos lógicos adquiridos a través de la deductiva (por lo tanto, sin dar pasos de gigante en lógica, a menos que sea por definición), y por lo tanto, empíricamente (a partir de la evidencia proporcionada) resultando en una equivalencia directa (siendo, entre otros tipos de equivalencia, pero principalmente, en permutación, multiplicativo / aditivo y negativo / positivo y par / impar. .. metamatemáticamente) de estados, esa distancia más corta es (en términos absolutos), ya sea infinito, cero y / o, también, uno.
Realmente, el intento de «prueba» de 2 + 2 = 5 se basa en un tipo distorsionado de trigonometría, que era en esencia la fuente del cálculo actual (solo intenta dibujar la tangente o la secante sin toparte con la idea de la derivada y la integral del cálculo, respectivamente), y en realidad es el resultado de cualquier equivalencia aditiva de dos números cualesquiera «a ser igual a cualquier número, (b porque medir la hipotenusa de un lado dado es esencialmente multiplicativo, por lo tanto, parcialmente irracional).
(Lo que me hace preguntarme … ¿hay un equivalente 2 * 2 = 5? y la respuesta es un rotundo, ¡sí! Pero primero la «prueba» escrita por Charles Seife.)
Sea a = by ay b = 1. Ahora mira esto…
b ^ 2 = ab … (eq.1)
Dado que a es igual a sí mismo, es obvio que
a ^ 2 = a ^ 2 … (eq.2)
Reste la ecuación 1 de la ecuación 2. Esto da como resultado
a ^ 2-b ^ 2 = a ^ 2-ab. .. (ec. 3)
Podemos factorizar ambos lados de la ecuación; (a ^ 2) -ab es igual a a (a-b). Del mismo modo, a ^ 2-b ^ 2 es igual a (a + b) (a – b) (Aquí no hay nada sospechoso. Esta afirmación es perfectamente cierta. ¡Sustituye los números y compruébalo por ti mismo!) Sustituyendo en la ecuación 3, get
(a + b) (ab) = a (ab) … (eq.5)
Hasta ahora, todo va bien. Ahora dividimos ambos lados de la ecuación por (ab) y obtenemos
a + b = a … (eq.5)
b = 0 … (eq. 6)
Pero establecemos b para que sea igual a 1 al comienzo de esta demostración, por lo que esto significa que
1 = 0 … (eq.7)
… De todos modos, llegar tan lejos nos da la esencia de la prueba, más adelante en la prueba, Charles Seife continúa demostrando que Winston Churchill era una zanahoria. si quieres saber cómo es posible, te recomiendo que leas el libro.
A partir de la ecuación 7, agrega un número a cada lado y haz que sea igual a cualquier otro número, uno mayor que él.
Al multiplicar la ecuación 7 después de sumarle, se puede obtener: cualquier número es igual a cualquier otro número.
Por lo tanto, conceptualmente, cualquier número es igual a cero y, teóricamente, eso incluye infinito. Pero esa es también la razón por la que cuando se divide por cero, es «Indefinido». Lo cual, en consecuencia, es lo que está sucediendo en esta ecuación … simplemente sustituya 1 en la ecuación 3 y verá que estamos dividiendo por cero. en la ecuación 5.
Esto es lo que condujo a la invención del cálculo. Realmente, desde aquí este segways en Hilbert Space … pero es mejor dejarlo para otra entrada, con suerte, sobre el tema real de la cuantificación .
Eso es todo para lo que tengo tiempo …
ESTA PRUEBA ES INCORRECTA POR DEFINICIÓN, pero proporciona una buena herramienta de por qué definimos las cosas en matemáticas de la forma en que hacer.
Una buena pregunta a partir de aquí sería (basada en mi tangente anterior):
¿1/3 + 1/3 + 1/3 = 1? ¿O es igual a cero coma nueve repitiendo? Fuente: Zero: Biography of a Dangerous Idea de Charles Seife
Respuesta
Empezaré asumiendo la base 10.
Peano introdujo estos axiomas en un intento para formalizar la aritmética. Si bien no se ha demostrado que sean consistentes, per se, se supone que lo son de manera razonable. Si bien normalmente no considero que 0 sea un número natural, hace que este proceso sea un poco más fácil, comenzar definiendo cero como el primer número natural, es decir. 0 \ in \ mathbb {N}.
Peano luego pasa a definir lo siguiente sobre las igualdad con los naturales:
- La igualdad es simétrico . (es decir, \ alpha = \ beta \ implica \ beta = \ alpha)
- La igualdad es reflexiva . (es decir, \ alpha = \ alpha para todos los \ alpha naturales)
- La igualdad es transitiva . (es decir, si \ alpha = \ beta y \ beta = \ gamma, entonces \ alpha = \ gamma)
- Los naturales están cerrados bajo igualdad. (si \ alpha es un número natural y \ alpha = \ beta, \ beta también es un número natural)
Ahora debemos introducir la función sucesora, que es inyectivo , (S (\ alpha) = S (\ beta) \implica \ alpha = \ beta) \ text {denoted} S. Los naturales se cierran bajo la función sucesora.La función de sucesor toma un número natural y genera su sucesor. Es decir. S (0) = 1 y S (1) = 2.
No hay un número al que el 0 sea un sucesor.
Usando la función de sucesor, podemos determinar el primero pocos naturales,
\ mathbb {N} = \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \ ldots \}, donde \ mathbb {N} se interpreta como un conjunto. Por lo tanto, se deduce que S (0) = 1, S (1) = 2, S (2) = 3, S (3) = 4.
Dicho esto, podemos definir aritmética, usando el función sucesora.
- Def. 01: \ alpha + 0 = 0 + \ alpha = \ alpha
- Def. 02: \ alpha + S (\ beta) = S (\ alpha + \ beta).
Nos enfrentamos a este vil problema, 2 + 2, que ha plagado a los matemáticos durante siglos.
\ displaystyle 2 + 2 \ underbrace {=} \_ {\ text {by def}} 2 + S (1) \ underbrace {=} \_ {\ text {by def2}} S (2 + 1) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def}} S (2 + S (0)) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def2}} S (S (2 + 0) ) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def1}} S (S (2)) \ underbrace {=} \_ {\ text {por def}} S (3) \ underbrace {=} \_ {\ text { por def}} 4.
\ por lo tanto 2 + 2 = 4 \ blacksquare.