Mejor respuesta
Este es un buen momento para mostrar cómo funcionan las matemáticas tomando algún concepto intuitivo pero vago y haciéndolo precisos con definiciones inteligentes.
¿Qué debemos decir con lo opuesto? Bueno, algo razonable es que cuando realizamos alguna operación \ vee (llámalo como quieras, banana es un buen nombre, por ejemplo) en xy su opuesto x ^ *, el resultado debería ser un elemento n neutral de banana. Es decir, x y «anti-x» deben cancelarse entre sí de modo que x \ vee x ^ * = n. Tenga en cuenta que, por el momento, no sabemos mucho sobre el banano además de estas propiedades formales. El concepto de que n es neutral debería, en este sentido, significar que para cualquier y, deberíamos tener y \ vee n = y, es decir, n no afecta a y cuando se aplica banana a ambos.
Este concepto de opuesto es fundamental en matemáticas, y el nombre más común para x ^ * es inverso de x con respecto a la operación \ vee.
Cuando \ vee es el suma ordinaria + de números, x ^ * se denota -x, ya que x + (- x) = 0 es el elemento neutral. De hecho, para cualquier y, y + 0 = y. Entonces, en este caso, el opuesto de 0 es -0, que es 0 en sí mismo!
Cuando \ vee es una multiplicación, el elemento neutro es 1 (¿por qué?). Entonces 0 no tiene un opuesto, ya que ningún número por cero es uno. Hay contextos en los que los matemáticos inventan un opuesto multiplicativo de 0, y generalmente lo llaman \ infty, lo que tiene cierto sentido.
Respuesta
Esto había sido previamente objeto de debate. en la comunidad matemática hasta que Donald Knuth aclaró las cosas en 1992, por lo que es comprensible que persista cierta confusión, pero la convención moderna es definir 0 ^ 0 = 1, por una buena razón.
¿Qué significa 0 ^ 0 ¿media? Quizás le hayan enseñado que una potencia cero se calcula dividiendo una enésima potencia por una enésima potencia (n> 0); eso no ayuda en el caso de 0 ^ 0, y lleva a algunas personas a asociar 0 ^ 0 con el cociente indefinido \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Estas personas no se han dado cuenta de que 0 ^ 2 está perfectamente bien definido y no se puede asociar con el cociente indefinido \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00; no podemos probar cualquier cosa introduciendo una división por cero donde no existía antes.
Pero no necesitamos apelar a la división en absoluto:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Si te quito todas tus manzanas n veces (n> 0) , no te quedan manzanas; pero si te quito todas tus manzanas 0 veces, todavía te quedan todas. De manera más concisa, 0 ^ 0 = 1 es un caso del producto vacío , como 0! = 1.
Entonces, ¿por qué tardó tanto en ser aceptado? El problema aparente es que la forma límite 0 ^ 0 es una forma indeterminada, en el sentido de que \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x) = 0 no te da información * sobre el límite \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)}: podría ser cualquier no negativo número real, \ infty, o podría no existir, dependiendo de las funciones particulares. Esto pareció estar en conflicto con la simple intuición anterior durante más de un siglo. Pero la comprensión importante es que la forma indeterminada 0 ^ 0 no nos impide asignar una definición al valor 0 ^ 0 . No son el mismo objeto: la forma limitante 0 ^ 0 es solo una abreviatura del límite mencionado anteriormente, y su indeterminación simplemente significa que la potenciación no puede ser una función continua. en cualquier vecindario de (0, 0).
Esto no debería ser demasiado sorprendente: por ejemplo, \ lfloor 0 \ rfloor también es una forma indeterminada (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rfloor no existe, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), pero todavía escribimos \ lfloor 0 \ rfloor = 0 como valor.
Y ahora asignamos 0 ^ 0 el valor que es útil, que es 1. ¿Por qué es útil? Porque nos permite manipular exponenciales sin agregar casos especiales .
- Si \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n es un polinomio , entonces p (0) = a\_0 es su término constante, pero ni siquiera podemos escribir un polinomio de esta manera obvia a menos que 0 ^ 0 = 1. Lo mismo ocurre con las series de potencias infinitas, donde d se reemplaza por \ infty.
- La evaluación de la serie geométrica infinita: \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} entonces \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. es completamente válido (e incluso continuo) para | x | , incluido en x = 0, pero requiere 0 ^ 0 = 1.
- El teorema del binomio (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k se mantiene incluso cuando a = 0 o b = 0, pero requiere 0 ^ 0 = 1.
- El regla de potencia \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) se mantiene incluso para n = 1 en x = 0, pero requiere 0 ^ 0 = 1.
- La respuesta de Jack Huizenga da otro ejemplo: el número de funciones f \ colon S \ to T es \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, pero solo si 0 ^ 0 = 1.
- En Church numeral codificación de los naturales, la potenciación es solo la aplicación de funciones y 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* El sentido en el que 0 ^ 0 es una forma indeterminada es más débil que para otras formas indeterminadas. Para funciones analíticas complejas f, g con \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) = \ lim\_ {x \ to a} g (x ) = 0, siempre tenemos \ textstyle \ lim\_ {x \ to a} f (x) ^ {g (x)} = 1, a menos que f sea idénticamente cero (en cuyo caso el límite no existe).
Donald Knuth da básicamente esta misma respuesta en “ Dos notas sobre notación ” (1992, p. 6), junto con antecedentes históricos:
Sin embargo, el artículo [33] de [Libri] produjo varias ondas en aguas matemáticas cuando apareció originalmente, porque generó una controversia sobre si se de fi ne 0 ^ 0. La mayoría de los matemáticos estaban de acuerdo en que 0 ^ 0 = 1, pero Cauchy [5, página 70] había enumerado 0 ^ 0 junto con otras expresiones como 0/0 e \ infty – \ infty en una tabla de formas indefinidas. La justificación de Libri para la ecuación 0 ^ 0 = 1 estaba lejos de ser convincente, y un comentarista que firmó su nombre simplemente «S» se lanzó al ataque [45]. August Möbius [36] defendió a Libri, presentando la razón de su antiguo profesor para creer que 0 ^ 0 = 1 (básicamente una prueba de que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius también fue más allá y presentó una supuesta prueba de que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 siempre que \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} g (x) = 0. Por supuesto, “S” preguntó a [3] si Möbius conocía funciones como f (x) = e ^ {- 1 / x} y g (x) = x. (Y el artículo [36] fue silenciosamente omitido del registro histórico cuando finalmente se publicaron las obras completas de Möbius). El debate se detuvo allí, aparentemente con la conclusión de que 0 ^ 0 debería estar indefinido.
Pero no , no, diez mil veces no! Cualquiera que quiera que el teorema del binomio \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} se mantenga durante al menos un entero no negativo n debe creer que 0 ^ 0 = 1, porque podemos conectar x = 0 e y = 1 para obtener 1 a la izquierda y 0 ^ 0 a la derecha.
El número de asignaciones del conjunto vacío al conjunto vacío es 0 ^ 0. tiene que sea 1.
Por otro lado, Cauchy tenía buenas razones para considerar 0 ^ 0 como un forma límite , en el sentido de que el valor límite de f (x) ^ {g (x)} no se conoce a priori cuando f (x) y g (x) se acercan a 0 de forma independiente. En este sentido mucho más fuerte, el valor de 0 ^ 0 está menos definido que, digamos, el valor de 0 + 0. Tanto Cauchy como Libri tenían razón, pero Libri y sus defensores no entendían por qué la verdad estaba de su lado.