Mejor respuesta
Desde un punto de vista probabilístico teórico, un campo aleatorio es una familia de variables aleatorias indexadas por una variedad.
Déjame explicarte:
Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias \ {X (t) \} \_ {t \ in T}, donde para cada t, X (t) es una variable aleatoria, yt varía en el conjunto T llamado conjunto índice. En teoría, la definición no impone ninguna restricción al conjunto de índices T, puede ser cualquier conjunto. Sin embargo, cuando decimos proceso estocástico, el 99\% de las veces pensamos que t es el tiempo, por lo tanto, T debe ser la línea real o el conjunto de números enteros o una parte de ellos.
Cuando esto es no es el caso, más comúnmente, cuando T es en realidad un espacio euclidiano de dimensiones superiores o una parte de él, o algo así (una «variedad»), entonces \ {X (t) \} \_ {t \ in T} es llamado campo aleatorio. La idea es que dado que el índice ya no es unidimensional, no podemos pensarlo como tiempo, entonces lo pensamos como espacio. Como resultado, no obtenemos un «proceso», obtenemos un «campo». Por lo tanto, lo que obtenemos es una superficie aleatoria o una función multivariante aleatoria.
Respuesta
Una variable aleatoria se define como un medible función
X: \ Omega \ mapsto \ R
Donde \ Omega es un Espacio de probabilidad – Wikipedia .
No se preocupe tanto por la parte «medible»; el punto principal que quiero señalar aquí es que, en matemáticas y física en particular, hay una especie de equivalencia entre funciones y variables .
Por ejemplo, una forma de uso común de la regla de la cadena de Calculus dice:
\ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ frac { du} {dx}
pero esto solo tiene sentido si y es implícitamente una función de u y u es implícitamente una función de x. Además, en el lado izquierdo, y en realidad (e implícitamente) representa la función compuesta y = y (u (x)).
También ves este tipo de notación de función como variable todo el tiempo en ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, cuando alguien escribe una ecuación diferencial como
y «= y
simplemente entiende que y es una función en algún dominio no especificado, es decir, y = y (x), y que y «representa la función \ frac {dy} {dx}, y el = sign significa igualdad de funciones. ¡Esa es una gran cantidad de configuración incorporada en esa notación!
Menciono esto porque las variables aleatorias funcionan exactamente De la misma manera. Escribimos X, pero este símbolo se refiere a una función X (\ omega). Una variable aleatoria es una función cuyo dominio es un espacio de probabilidad. El espacio de probabilidad casi nunca es explícito en la notación, pero debe definirse en contexto.
En cuanto a por qué se llama «aleatorio», esa es solo la palabra que usamos para las cosas que dependen de un espacio de probabilidad. Si digo «cuenta 1 para cara, -1 para cruz», he definido un espacio de probabilidad \ Omega = \ {cara, cruz \} (presumiblemente con el distribución uniforme), y una variable aleatoria X (caras) = 1, X (colas) = - 1. El símbolo X no denota un número real, sino más bien una función con un dominio «aleatorio», donde «aleatorio» puede definirse libremente como «tener una distribución conocida de resultados».