Mejor respuesta
El término «conjunto de puntos» no tiene una definición matemática estándar, hasta donde yo sé. La frase «Sea X un conjunto de puntos» no tiene sentido. En «topología de conjunto de puntos» la frase «conjunto de puntos» es un adjetivo que modifica «topología», en oposición a «topología algebraica» o «topología diferencial».
- La topología de conjuntos de puntos estudia los espacios topológicos potencialmente patológicos desde un punto de vista esencialmente teórico de conjuntos.
- La topología algebraica utiliza álgebra homológica para analizar espacios continuos adecuadamente agradables.
- La topología diferencial utiliza el cálculo para estudiar espacios suaves.
El modificador «point-set» a topología, por lo tanto, denota que está trabajando potencialmente en un contexto en el que sus espacios están no susceptible de estudio a través de métodos continuos o diferenciables.
Respuesta
Una línea puede ser considerada como formada por puntos, pero no estoy seguro de que sea la mejor manera de pensar en ello. Y estoy bastante seguro de que debería evitar decir que una línea está «formada por» puntos, porque ninguno es más fundamental que el otro.
En geometría axiomática, las líneas y los puntos son entidades fundamentales distintas. Dos líneas se cruzan en un punto y hay un orden estricto de puntos distintos en cualquier línea dada. Una característica interesante de la geometría proyectiva es la simetría entre puntos y líneas: existe una dualidad formal entre ellos. Esa afirmación sobre dos líneas que se encuentran en un punto es formalmente equivalente a su doble: dos puntos definen una línea. En la vista dual, un punto está «formado por» líneas.
En cuanto a la cardinalidad de los puntos en una línea: esto depende de las construcciones que permitas. Con la tradicional «regla y brújula sin marcar», solo hay un número contable de puntos que podemos alcanzar en una línea. Permitiendo límites de secuencias de puntos en general podemos llegar a cualquier punto en la recta numérica Real, que tiene la cardinalidad incontable del continuo. Pero no hay ninguna razón en particular para detenernos allí: podemos construir, digamos, la recta numérica surrealista donde los puntos distintos pueden estar infinitesimalmente cerca y hay muchos de ellos (¡más allá de incontables!).