¿Qué forma tiene la relación más pequeña entre el área y la longitud del perímetro?


Mejor respuesta

Intuitivamente digo que un triángulo tiene el más pequeño e intuitivamente creo que un círculo tiene el más grande.

Círculo:

PiR ^ 2 / 2PiR = PiR / 2; si R = 1, entonces la razón del área al perímetro de un círculo es Pi / 2. También si permito que el radio de este círculo se reduzca a cero, entonces quizás el resultado pueda cuestionar mi hipótesis.

Triángulo:

Ahora, si un Triángulo, en los puntos A, B, C con el mismo perímetro 2Pi, se aplasta al encoger su base, y reteniendo un perímetro 2Pi, el área estará dada por 1/2 B x H (B = Base; H = altura). Por Pitágoras sabemos que H (altura del triángulo) se convierte en Pi cuando B (base del triángulo) se acerca a cero, también podemos inducir que tal área es muy muy pequeña ya que Pi X un valor muy pequeño se acerca a cero.

Aunque he probado este caso con un triángulo, los lados B (base) 6 unidades, el lado A 5 unidades y el lado C 5 unidades, y un círculo del mismo perímetro, 16 unidades, y muestra que el área del triángulo 12 unidades cuadradas es menor que el círculo 20,3718 unidades, y por lo tanto la razón del área del círculo al perímetro es 1,2732, mientras que la del triángulo es 0,7853; Me gustaría ser confirmado en mi experimento por otros agentes.

Por lo tanto,

Quiero dejar la resolución de esta pregunta a algún aritmético para que pruebe el caso de círculos de diámetro 2, 3 , 4… y así sucesivamente. Claramente, entonces el área del triángulo se verá más fácilmente como menos que un círculo del mismo perímetro. Porque un triángulo, mi hipótesis, limita el menor espacio de todas las formas regulares.

Espero que eso ayude.

Respuesta

Ya que nos dicen que tienen el mismo área, la ecuación tendrá la fórmula para un círculo igual a la fórmula para un cuadrado: pi * «r» al cuadrado = «s» al cuadrado. De inmediato, podemos notar que ambos lados están al cuadrado, pero el lado izquierdo tiene que ser multiplicado por «pi» para que sea igual al lado derecho. La lógica por sí sola podría llevarnos a ver que la «r» = radio «es probablemente menor que la» s «=» lado «. Así que podríamos sospechar que el perímetro del cuadrado es más grande, pero verifique. Hagamos una tabla … y siempre que sea posible, sea perezoso … elija números pequeños para «r» y resuelva para «s».

1 al cuadrado * pi = (raíz cuadrada de pi) al cuadrado NOTA: r = 1 mientras que s = raíz cuadrada de pi o 1,77. Por lo tanto, la circunferencia del círculo: 2 * 1 * pi = 2 * pi = 6.28 mientras que el perímetro del cuadrado: 4 * (raíz cuadrada de pi) = 4 * 1.77 = 7.0898 – ¡El cuadrado gana!

2 al cuadrado * pi aíz cuadrada de 4 pi NOTA: r = 2 mientras que s = raíz cuadrada de 4 * pi = 3.5448. Por lo tanto, la circunferencia del círculo: 2 * 2 * pi = 4 * pi = 12.566 mientras que el perímetro del cuadrado: 4 * (3.5448) = 14.1792 – ¡El cuadrado gana!

3 al cuadrado * pi aíz cuadrada de 9 Pi. {Tú haces las matemáticas: ¿quién crees que gana?}

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