Mejor respuesta
Intuitivamente, un denominador de 3 implica que el número se “divide” en tres partes iguales. 27 dividido por 3 es 9. Es decir, cada uno de los 3 grupos es igual a 9.
2/3 indica que de los 3 grupos de 9, solo 2 de los 3 grupos son motivo de preocupación. Por lo tanto, 2/3 es 9 + 9 = 18.
El 2/3 de 27 es 18.
Respuesta
John K Williamsson dio una buena respuesta: por lo que llamó la «suma sucia» de \ frac {1} {2} y \ frac {8} {9} (el término matemático para eso es mediant ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Sugiere usar álgebra para demostrar la desigualdad mediante : si a, b, c, d son números positivos y
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
luego
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Deseo agregar que, a nivel de escuela primaria, la desigualdad mediante no necesita una prueba algebraica, es suficientemente evidente.
De hecho considere las fracciones \ frac {1} {2} y \ frac {8} {9} como descripciones de situaciones de la vida real:
\ frac {1} {2}: 2 niños tienen 1 bolsa de frutas .
\ frac {8} {9}: 9 niños tienen 8 bolsas de frutas.
Se juntan y comparten por igual: 1 + 8 bolsas de fruta entre 2 + 9 = 11 niños, es decir, forman el mediante:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
En este intercambio, ¿qué grupo de niños pierde y cuál gana? Por supuesto, 2 niños con 1 bolsa de ganancia: tienen \ frac {1} {2} bolsas por cabeza, el otro grupo viene con una mayor participación por cabeza: \ frac {8} {9}. Por la misma razón, los niños del segundo grupo pierden.
Utilizo un ejemplo con niños y bolsas de dulces en mis conferencias; aquí reemplacé los dulces por frutas más políticamente correctas; tal vez tenga que ir más allá y usar vegetales verdes en lugar de frutas. La idea original pertenecía al gran Israel Gelfand, y se expresó en un lenguaje más colorido:
Puedes explicar las matemáticas a todo el mundo, incluso a los borrachos. Si les preguntas a algunas personas que beben vodka en un banco del parque, qué es más grande, \ frac {2} {3} o \ frac {3 } {4} , responderán con improperios. Pero si les preguntas, qué es mejor, 2 botellas de vodka para 3 personas o 3 botellas de vodka para 4 personas, te darán instantáneamente la respuesta correcta: de Por supuesto, 3 botellas para 4 personas.
Y esta conclusión instantánea proviene de un argumento que es la inversión de la prueba informal de la desigualdad mediante: ¿cómo pasar de la situación “2 botellas para 3 personas” a la situación “3 botellas para 4 personas”? Por supuesto, significa que viene un cuarto hombre y trae consigo una botella entera. ¿Te imaginas, una botella entera de vodka? En la desigualdad media,
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
o
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
He visto algunos artículos que confirman que este es un patrón típico de aritmética pensando, como lo hacen las personas «normales» en situaciones de la vida real (por ejemplo, he visto una afirmación de que las enfermeras del hospital lo utilizan para comparar dosis de medicamentos, cuál es más grande y cuál es más pequeña).