Mejor respuesta
¿Qué tan grande es el número de Rayo en comparación con el número de Graham? Es más grande. Mucho más grande. Fue diseñado para serlo.
El número de Graham es enorme. Es mucho más grande que los números grandes normales como un Googolplex que comprender cuánto más grande es puede ser bastante desgarrador. Sin embargo, en el campo de los números enormes, el Número de Graham no es excepcional. Hay conjuntos completos de números que han sido concebidos que son tan alucinantemente más grandes que el Número de Graham como el Número de Graham es en sí mismo grande. Recuerde que el Número de Graham no fue diseñado para ser particularmente grande; de hecho, surgió en un intento de encontrar un el límite superior más pequeño de un problema matemático (¡y desde entonces se han encontrado límites superiores mucho más pequeños para este problema!). Lo único que tenía de especial el número de Graham era que, en ese momento , era el número más grande que se había utilizado en una prueba o derivación matemática significativa.
Otros números que salen del número de Graham desde entonces se han derivado o utilizado en pruebas significativas. Un ejemplo es TREE (3) , pero también hay muchos otros.
El número de Rayo es un poco diferente de todos estos. Verá, el número de Rayo fue diseñado específicamente solo para ser un número monstruosamente enorme. Es, virtualmente por definición, más grande que cualquiera de estos otros números que hemos Hemos estado hablando. Es mucho más grande que cualquiera de ellos que ni siquiera sabemos exactamente qué tan grande es: ¡pero conocemos un montón de números terriblemente enormes que sabemos que tiene que ser mayor que!
Obviamente, incluso el Número de Rayo no es en ningún sentido «el número más grande». No existe tal cosa. Siempre podemos sumar uno a cualquier número y obtener uno un poco más grande. Podemos elevar cualquier número a su propia potencia y obtener uno bastante más grande. Pero actualmente se cree que el Número de Rayo es el número finito más grande al que alguien se ha molestado en darle un nombre (excluyendo extensiones triviales, como Rayos-Number-plus-one y similares).
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Número i del Rayo es mucho más grande.
Explicaré cuál es el número de Rayo, luego entenderemos por qué es mucho más grande que el número de Graham.
Existe esta vieja paradoja que es algo como esto: Deje que N se defina como «El número entero positivo más pequeño no definible en un máximo de doce palabras en inglés».
Uno podría preguntar, ¿qué es N?
Bueno, sea lo que sea N, es claramente definible en un máximo de doce palabras en inglés, a saber, las palabras «El número entero positivo más pequeño no definible en un máximo de doce palabras en inglés». Pero eso es una contradicción, porque por definición, N no se puede definir con doce palabras en inglés.
¡Paradoja! ¡SpoooOoOoOky!
La solución a esta paradoja, más allá del hecho de que «inglés» es vago en general, es que «definible» está particularmente mal definido. Si qué números son definibles depende de la palabra «definible» cuyo significado depende de qué números son definibles, terminas con una definición circular que no se puede resolver.
¿Por qué mencioné esta paradoja?
El número de Rayo puede verse como una «formalización» de lo anterior; utiliza lenguaje matemático en lugar del inglés, y hace que la noción de «definibilidad» sea precisa. El número de Rayo es
«El entero positivo más pequeño más grande que cualquier entero positivo finito nombrado por una expresión en el idioma del conjunto de primer orden teoría con símbolos de googol o menos «.
Teoría de conjuntos de primer orden: aquí, significa» lógica de primer orden en el dominio del universo de Von Neumann , que es un modelo de teoría de conjuntos de Zermelo – Fraenkel ”, es un lenguaje matemático preciso. Este El lenguaje formal tiene la propiedad de que no puede codificar circularmente esa misma oración y crear una paradoja. (Puede describir los axiomas de ZFC en lógica de primer orden e incluso describir un mecanismo para evaluar pruebas, etc., pero no puede crear un universo de Von Neumann dentro de sí mismo.)
Entonces, ¿por qué es más grande que el número de Graham?
Bueno, el número de Graham no es muy difícil de definir, puedes lea la definición en Wikipedia y es completamente elemental, en términos de up arr notación de flujo que se define por exponenciación. Ciertamente, puede codificar el número de Graham usando como máximo, digamos, 10,000 símbolos. Estoy siendo conservador aquí. Y el número de Graham no está ni cerca del mayor número definible en 10,000 símbolos. Pero el número de Rayo es más grande que cualquier número definible con googol = 10 ^ {100} símbolos. ¡Es monstruosamente más grande que el número de Graham! De hecho, la teoría de conjuntos de primer orden puede hablar de máquinas de Turing, por lo que el número de Rayo es mucho mayor incluso que, digamos, BusyBeaver (cualquier número grande que se le ocurra).