Mejor respuesta
Un pentágono regular no se tesela.
Para que un polígono regular se tesele vértice a vértice, el interior El ángulo de su polígono debe dividir 360 grados uniformemente. Dado que 108 no divide 360 uniformemente, el pentágono regular no se tesela de esta manera.
Tratar de colocar uno de los vértices en una arista en algún lugar en lugar de en el vértice no funciona por razones similares, los ángulos no funcionan. No coinciden.
Hay, sin embargo, muchos pentágonos que se teselan, como el ejemplo siguiente, que pone un mosaico de vértice a vértice. Puede ver que los ángulos de todos los polígonos alrededor de un solo vértice suman 360 grados.
Verificar la condición del ángulo es no es la única condición necesaria para ver si los polígonos están en mosaico, pero es muy fácil de verificar.
Respuesta
Solo tres polígonos regulares en mosaico: triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.
Ningún otro polígono regular puede teselar debido a los ángulos de las esquinas de los polígonos. Para teselar un plano, un número entero de caras debe poder reunirse en un punto. Para polígonos regulares, eso significa que el ángulo de las esquinas del polígono tiene que dividirse 360 grados. Además, para todos los polígonos convexos, la suma de los ángulos exteriores debe sumar 360 grados, y para los polígonos regulares eso significa que los ángulos exteriores deben ser iguales y suman 360 grados. Esto significa que el ángulo interior de un n-gon regular es 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. La cantidad de n-gons regulares que puede colocar alrededor de una esquina es, por lo tanto, \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, y solo es posible cuando es un número entero .
Los triángulos equiláteros tienen 3 lados, por lo que puedes ajustar \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 triángulos equiláteros alrededor de un punto. No se descarta la teselación.
Los cuadrados tienen 4 lados, por lo que puede ajustar \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 cuadrados alrededor de un punto. No se descarta la teselación
Los pentágonos tienen 5 lados, por lo que puedes ajustar \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 pentágonos alrededor de un punto. No es un número entero, por lo que la teselación es imposible.
Los hexágonos tienen 6 lados, por lo que puede ajustar \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 hexágonos. La teselación no está descartada.
¿Pero más lados que ese? Bueno, no es posible. Tenga en cuenta que \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2}, y que 2 < \ frac {2n} {n-2}, entonces para n> 6, tienes 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, entonces para heptágonos, octágonos, nonagones, etc. regulares, no se puede ajustar un número entero de ellos alrededor de un punto.
Esto no significa que no haya pentágonos, heptágonos, octágonos, etc.que se teselen, solo no pentágonos regulares, heptágonos regulares u octágonos regulares, etc.