Si multiplica una matriz 1×2 por una matriz 2×1, ¿cuáles son las dimensiones de la matriz resultante?


Mejor respuesta

1×1

Explicación: Suponga , La primera matriz es de tamaño a * by la segunda matriz es de tamaño c * d (a & c corresponden a fila y b & d corresponden a columna).

La multiplicación de matrices entre las dos matrices solo será posible si b = cy la matriz resultante tendrá un tamaño a * d.

Aquí a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. como b = c, podemos multiplicar entonces y la matriz resultante tendrá un tamaño a * d (1 * 1)

Respuesta

La matriz arbitraria de dos por dos es

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

Puede tener un inverso multiplicativo A ^ {- 1} con la propiedad AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, la matriz de identidad, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.

Busquemos la inversa, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}

AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}

Tenemos dos sistemas lineales separables de dos por dos,

ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1

Hagamos el primero, despejando x y z.

adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0

(ad-bc) x = d

x = \ dfrac {d} {ad-bc}

acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0

z = \ dfrac {-c} {ad-bc}

Desde el otro sistema obtenemos

ady + bdw = 0, bcy + bdw = b

y = \ dfrac {-b} {ad-bc}

y de manera similar

z = \ dfrac {a} {ad-bc}

Poniéndolo todo junto Vemos

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

La cantidad | A | = \ det (A) = ad-bc se denomina determinante . Es distinto de cero precisamente cuando la matriz tiene una inversa. El determinante es multiplicativo: el determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de sus determinantes.

La matriz \ pmatrix {d & -b \\ -c & a} se llama adjugar denotado \ textrm {adj} (A).

Comprobemos que A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Yo, la matriz que es todo cero excepto el determinante en las diagonales.

A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatrix {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( UN) \; I \ quad \ checkmark

La respuesta a la pregunta es, si el denominador no es cero,

A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}

es la matriz que multiplicamos por

A = \ pmatrix {a & b \\ c & d}

para obtener la identidad.

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