Mejor respuesta
Sí.
Se encuentra fuera del triángulo.
H es el ortocentro de \ Delta ABC.
También tenga en cuenta que \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Responder
¿Cómo se encuentra el circuncentro y el ortocentro de un triángulo de ángulo obtuso que se encuentra fuera del triángulo?
Una forma de determinar el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo, obtuso o no, es mediante el uso de vectores y matrices.
Introducción:
Es un poco complicado, por lo que no habrá cualquier espacio para mostrar los cálculos.
Digamos que tenemos un triángulo con vértices A, B y C y que las longitudes de sus lados opuestos son a, byc, respectivamente.
Definimos tres vectores: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) y \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ left (BC \ right).
Ahora, sin Como los vectores son matrices, podemos usar un formato de matriz donde una T después de un vector significa que está transpuesto. Entonces \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} y \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Estos son en realidad productos escalares.
Para evitar confusiones, también usaré la notación \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} y \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Entonces, u \ equiv c, v \ equiv b , y w \ equiv a. También usaré un sombrero para representar un vector unitario, que es solo un vector que ha sido dividido por su propia longitud y por lo tanto tiene una longitud de 1. Por ejemplo, \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Matriz de transformación:
Ahora definimos una matriz de transformación, si se trabaja en 2 dimensiones será una matriz de 2×2 y si se trabaja en 3 dimensiones será una matriz de 3×3. Tenga en cuenta que \ theta\_ {A} es el ángulo entre \ vec {u} y \ vec {v}, que es el ángulo en el vértice A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ left (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hat {v} \ hat {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Usamos la matriz de transformación para definir otro vector.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = R \ vec {w}
Fórmulas:
Sea H el ortocentro, que es el punto donde se cruzan las tres altitudes de un triángulo. Una altitud va desde cada vértice en una línea que es perpendicular a su lado opuesto.
Sea Q el circuncentro, que es el punto donde se cruzan las bisectrices perpendiculares de los tres lados de un triángulo. Es el centro del circuncírculo, que es un círculo que incluye los tres vértices de un triángulo.
Ahora, con algo de trabajo, ahora se puede deducir que
\ quad \ comenzar {matriz} {l} H = \ vec {A} + \ left (\ vec {u} + \ vec {v} \ right) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Al usar los vértices del triángulo mencionado como vectores, podemos convertirlos en fórmulas simétricas.
\ begin {matriz} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ right)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {A} + b ^ {2} \ left (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ right) – \ frac {1} {2} \ left (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ right)} \ end {array}
Tenga en cuenta que no hay raíces cuadradas ni trigonometría ar Se requiere encontrar los dos centros.