Paras vastaus
1×1
Selitys: Oletetaan , 1. matriisin koko on a * b ja toisen matriisin koko on c * d (a & c vastaavat riviä ja b & d saraketta).
Matriisikertaus kahden matriisin välillä on mahdollista vain, jos b = c: n ja tuloksena olevan matriisin koko on a * d.
Tässä a = 1, b = 2, c = 2, d = 1. Koska b = c, voimme kertoa silloin ja saadun matriisin koko on * d (1 * 1)
Vastaus
Mielivaltainen kaksi kertaa matriisi on
A = \ pmatriisi {a & b \\ c & d}
Sillä voi olla moninkertainen käänteinen A ^ {- 1} ominaisuudella AA ^ {- 1} = A ^ {- 1} A = I, identiteettimatriisi, I = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}.
Etsitään käänteinen, A ^ {- 1} = \ pmatrix {x & y \\ z & w}
AA ^ {- 1} = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {x & y \\ z & w} = \ pmatrix {ax + bz & ay + bw \\ cx + dz & cy + dw} = \ pmatrix {1 & 0 \\ 0 & 1}
Meillä on kaksi erotettavissa olevaa kaksi kahdella lineaarisella järjestelmällä,
ax + bz = 1, \ quad cx + dz = 0, \ qquad ay + bw = 0, \ quad cy + dw = 1
Suoritetaan ensimmäinen, ratkaistaan x ja z.
adx + bdz = d, \ quad bcx + bdz = 0
(ad-bc) x = d
x = \ dfrac {d} {ad-bc}
acx + bcz = c, \ quad acx + adz = 0
z = \ dfrac {-c} {ad-bc}
Toisesta järjestelmästä saamme
ady + bdw = 0, bcy + bdw = b
y = \ dfrac {-b} {ad-bc}
ja vastaavasti
z = \ dfrac {a} {ad-bc}
Yhdistä kaikki Näemme
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc} \ pmatrix {d & -b \\ -c & a}
Määrä | A | = \ det (A) = ad-bc kutsutaan determinantiksi . Se ei ole nolla tarkalleen, kun matriisilla on käänteinen. Determinantti on moninkertainen – kahden neliömatriisin tulon determinantti on niiden determinanttien tulo.
Matriisia \ pmatriisi {d & -b \\ -c & a} kutsutaan nimellä adjugaatti merkitään \ textrm {adj} (A).
Tarkistetaan, että A \ textrm {adj} (A) = \ det (A) \; Minä, matriisi, joka on kaikki nolla lukuun ottamatta diagonaaleissa olevaa determinanttia.
A \ textrm {adj} (A) = \ pmatrix {a & b \\ c & d} \ pmatrix {d & -b \ \ -c & a} = \ pmatriisi {ad -bc & -ab + ba \\ cd -dc & -cb + da} \\ \ qquad = \ pmatrix {ad -bc & 0 \\ 0 & ad-bc} = \ det ( A) \; I \ quad \ checkmark
Vastaus kysymykseen on, jos nimittäjä ei ole nolla,
A ^ {- 1} = \ dfrac {1} {ad-bc } \ pmatriisi {d & -b \\ -c & a}
on matriisi, jolla kerrotaan
A = \ matriisi {a & b \\ c & d}
saadaksesi identiteetin.