Paras vastaus
Se ei pyöri 45 ^ o: lla. Se on muunnos vektorin kiertämiseksi \ mathbb {R} ^ 2 kulmalla \ theta. Voit johtaa kaavan seuraavasti:
Anna vektorin \ mathbf {V} kiertää kulmalla \ theta alla jonkin verran muunnosta uuden vektorin \ mathbf {V ”} saamiseksi.
Olkoon r = | \ mathbf {V} |. Sitten meillä on suhteet:
v\_x = r \ cos \ alpha
v\_x ”= r \ cos (\ alpha + \ theta)
v\_y = r \ sin \ alpha
v\_y” = r \ sin (\ alpha + \ theta)
Miksi sinulla on suhteet:
v\_x ”= v\_x \ cos \ theta – v\_y \ sin \ theta
v\_y ”= v\_x \ cos \ theta + v\_y \ sin \ theta
Tämä on esitetty matriisimuodossa muodossa
\ begin {pmatrix} v\_x” \\ v\_y ”\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta && – \ sin \ theta \\ \ sin \ theta && \ cos \ theta \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} v\_x \\ v\_y \ end {pmatrix}
Vastaus
On olemassa useita tapoja hyökätä tähän ongelmaan.
Ensimmäinen on yksinkertaisesti kutsua Eulerin kierto lause, jonka mukaan mikä tahansa rajallinen määrä kiertoja yhden kiinteän pisteen ympärillä (mutta mielivaltaisten akselien ympärillä kuviot) voidaan ilmaista yksittäisenä kulman \ theta kiertona akselin \ hatun {n} ympäri.
Jos hyväksymme, että jokainen kierto on esitetty matriisina ja että vektorin kiertomenetelmä on matriisikertoja, tästä seuraa heti, että kiertomatriisien A\_1 A\_2 … A\_n tulon on oltava myös kiertomatriisi – muuten olemme rikkoneet Eulerin kiertolause.
Kysymys on tietysti miten todellisuudessa todistat tämän lauseen.
Eulerin alkuperäinen teos on… brutto. Se sisältää monia, monia pallojen pinnalle piirrettyjä kolmioita (eli ei-euklidisia kolmioita).
Jos haluat seurata todiste loppuun asti, aiemmin linkitetty wikipedia-sivu näyttää tekevän puolivälissä kunnollisen työn.
Vaihtoehtoinen menetelmä (tai vastaavasti toissijainen tapa todistaa Eulerin lause, luulisin) on suoraan käytä kiertomatriisien ominaisuuksia pienellä retkellä ryhmateoriaan.
Kierto on matemaattisesti mikä tahansa operaatio, jossa kaikkien avaruuspisteiden väliset etäisyydet pysyvät vakioina ja jättäen pisteet, tai kiinteä pistejoukko (olettaen, että olemme yksinkertaisessa euklidisessa avaruudessa) objektin orientaatiorakenteen säilyttämisen lisäksi.
Ryhmoteoreettisella kielellä kutsutaan näitä operaatioita (euklidisessa avaruudessa ) ”Erityinen ortogonaalinen ryhmä n ulottuvuudessa” tai lyhyesti SO (n).
Matriisit A, jotka ovat SO (n): n jäseniä, määritetään seuraavilla kahdella ominaisuudella:
- A ^ TA = 1\_n (ortogonaalinen bitti)
- \ text {det} (A) = 1 (erityinen bitti)
Eli pyörimismatriisit ovat ortogonaalisia matriiseja, joilla on determinantti. Tässä 1\_n on identiteettimatriisi n ulottuvuudessa.
”Ortogonaalisuus” -ehto on ehto, joka varmistaa etäisyyksien säilymisen, koska euklidisessa avaruudessa vektorin \ mathbf {v} pituus on:
\ displaystyle d ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ tag * {}
Jos käännämme tätä vektoria, niin että \ mathbf {v} ^ \ prime = A \ mathbf {v}, jossa A on ortogonaalinen vektori, sitten matriisikertoimen ominaisuuksien mukaan:
\ displaystyle \ mathbf {v} ^ \ prime \ cdot \ mathbf {v} ^ \ prime = \ mathbf {v} ^ TA ^ TA \ mathbf {v} = \ mathbf {v} ^ T \ mathbf {v} = d ^ 2 \ tag * {}
Siksi kierto ei vaikuttanut etäisyyteen d.
Kaikilla ortogonaalisilla matriiseilla on determinantti \ pm 1, mutta negatiivisen determinantin omaaviin sisältyy myös peilikääntö heijastusta jonkin akselin ympäri. Ottaen huomioon, että haluamme puhtaita kiertoja, ei heijastuksia, jotta voimme säilyttää esineidemme suunnan avaruudessamme, rajoittumme siksi vain niihin, joilla on positiiviset determinantit – mistä ”erityinen” bitti tulee.
Se tosiasia, että olen maininnut näiden rakenteiden muodostavan ryhmän (ja siihen liittyvä operaatio on matriisikertaus), on itse asiassa riittävä johtopäätökseen, että useiden kiertomatriisien tulo on itse asiassa myös kierto, koska ryhmät määritellään c id = ”8e0867b8d8”> menetetty ryhmäkäytössä .
Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa kaksi elementtiä g\_1 ja g\_2 ryhmässä G, ryhmän toiminnalla g\_1 \ bullet g\_2 on palautettava kolmas elementti g\_3, joka on myös ryhmän G jäsen. Jos siis A ja B ovat kiertomatriiseja, ryhmän määritelmästä seuraa, että että A \ luettelomerkki B = AB on myös kiertomatriisi.
Tietysti … tämä on huijaustapa. Jotta voin todeta, että SO (n) oli ryhmä, minun on osoitettava, että tämä oli totta! Se voidaan näyttää myös nimenomaisesti seuraavista transponoidun ja determinantin yleisominaisuuksista:
- (AB) ^ T = B ^ TA ^ T
- \ text {det} (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B)
Siksi rakennamme matriisin C = AB, jossa A: n ja Bare: n jäsenet SO (n) .
Sitten harkitsemme:
- C ^ TC = (B ^ TA ^ T) (AB) = B ^ T (A ^ TA) B = B ^ TB = {1\_n}
- Koska A ^ TA = 1\_n ja B ^ TB = 1\_n ja matriisikertoimen assosiatiivisuus.
- \ text {det} (C) = \ text {det } (AB) = \ text {det} (A) \ text {det} (B) = 1 \ kertaa 1 = 1
Siksi näemme, että C on ortogonaalinen matriisi, determinantti – eli se on SO (n): n jäsen ja siten kiertomatriisi.
Olemme siis todistaneet, että SO (n) (ja todellakin O (n)) muodostaa ryhmän, joka on suljettu matriisikertolaskun alla ja siten useiden kiertojen ketjutus on itsessään kiertymä.
Olemme siis todistaneet Eulerin kiertolauseen.