Paras vastaus
Gavin Song on jo antanut sinulle suuren vastauksen, mutta teen parhaani tarjota sinulle vaihtoehto tapa tarkastella tätä ongelmaa laskennan avulla.
Tosiasia: Mikä tahansa 2D-ellipsi voidaan parametrisoida nimellä
\ begin {tasaa *} y (t) & = a \ sin (t) \\ x (t) & = b \ cos (t) \ end {tasaa *}
Missä 0 \ leq t \ leq 2 \ pi ja a ja b ovat puoli- ja puolisuuri akselit (eli pystysuora ja vaakasäde).
Otetaan huomioon, että pisteessä on muutos x-akselissa ja toisessa y-akselissa, sanovat \ Delta y ja \ Delta x. Pythagoraan lauseen avulla tiedämme, että pisteen alku- ja loppupaikan välisen pituuden antaa (\ Delta y ^ 2 + \ Delta x ^ 2) ^ {1/2}. Eikö vain?
Käytä nyt tätä logiikkaa parametrisoituun ellipsiin. Ellipsin kehän arvioimiseksi voisimme ”seurata” ellipsin pistettä useita t-vaiheita pitkin, mitata sen sijaintien välisen pituuden kullakin aikavälillä ja lisätä ne yhteen lopussa. Jos yrität tehdä tämän itse, huomaat, että mittaus muuttuu entistä tarkemmaksi, jos otamme huomioon pienemmät välit. Joten todellisen kehän saamiseksi voimme suorittaa tämän prosessin äärettömän pienillä aikaväleillä, mikä antaisi äärettömän pieniä muutoksia x: ssä ja y: ssä, esimerkiksi dx ja dy. Tämä vastaa seuraavan integraalin arviointia:
\ int\_ {0} ^ {2 \ pi} (dx ^ 2 + dy ^ 2) ^ {1/2}
Olkoon kehä ilmaistu l: nä. Jos käytämme aikaisempaa parametrisointia, voimme ilmaista tämän seuraavasti:
\ begin {align *} l & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi} \ Big (\ Big (\ frac {dy } {dt} \ iso) ^ 2 + \ iso (\ frac {dx} {dt} \ iso) ^ 2 \ iso) ^ {1/2} dt \\ & = \ int\_ {0} ^ {2 \ pi } (a ^ 2 \ cos ^ 2 (t) + b ^ 2 \ sin ^ 2 (t)) ^ {1/2} dt \ end {tasaa *}
Siellä on kuitenkin saalis. Tällä integraalilla ei ole symbolista ratkaisua, ellei a = b (joka antaa tyylikkäästi kaavan ympyrän kehälle), joten ainoa vaihtoehto on käyttää numeerisia menetelmiä hyvän likiarvon saamiseksi. Tämä voi olla sinulle joko mielenkiintoista tai pettymystä, mutta toivon, että kummallakin tavalla se auttoi.
🙂
Vastaa
Jos kestät kanssani, aion harkitse tätä kysymystä päinvastoin.
Oletetaan, että ympyrällä ja ellipsillä on yhtäläiset pinta-alat.
Kysymykseni on ”Onko niillä sama kehä?”
(Huomaa, että kun a = b = r, kaava on sama kuin ympyrän pinta-ala.)
ympyrä on 2πr
Ellipsin kehää on vaikea laskea!
Ihmiset ovat yrittäneet löytää kaavat löytääksesi ellipsin kehän, mutta useimmat yritykset ovat vain likiarvoja.
Joissakin menetelmissä jopa summataan loputon sarja!
Kuuluisa intialainen matemaatikko Ramanujan laati erittäin hyvän kaavan, joka melko tarkka.
Huomaa, että jos a = b = r, ellipsi muuttuu ympyräksi ja yllä oleva kaava muuttuu ympyrän kehän kaava C = 2πr .
Jos korvataan tämä hänen kaavaansa, saadaan:
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
Tarkastellaan tiettyä esimerkkiä, jossa ympyrän säde on 6 cm ja ellipsillä on pääakseli 9 cm ja ala-akseli 4 cm.
Ympyrän pinta-ala = π × 6 × 6 = 36π neliömetriä
Pinta-ala ellipsi = π × 9 × 4 = 36π neliömetriä
————————————————— ——————————
Ympyrän ympärysmitta = 2πr = 12π cm
Ellipsin ympärysmitta Ramanujanin kaavaa käyttäen on:
————————————————————————————————— ————
Päätelmä, jos ympyrällä ja ellipsillä on sama pinta-ala, ellipsillä on suurempi ympärysmitta kuin ympyrä .