Paras vastaus
Vastaukseen voidaan vastata kolmella tavalla.
- 2,00,00,000 – Tämä on 2 crore. Nollien lukumäärä on 7.
- 2 Crore – Ei nollia täällä. Vain 2 ja Crore, edelleen crore, jossa on o, ei voida pitää nollana.
- 2,00,00,000 tarkoittaa, nollia, jotka ovat numeroita ai = 2,00,00,000, se tulee negatiivisen äärettömyyden ja 2 crore: n välillä. Supertietokoneet eivät myöskään voi laskea nollien lukumäärää yllä mainitulla alueella.
Vastaa
Kysymykseen ”Miksi mikä tahansa luku nostetaan nollan tehoksi yhtä suuri kuin yksi mutta nolla nostettu nollan voimaksi ei anna vastausta? ” on itsensä kanssa ristiriitainen. Siinä väitetään, että mikä tahansa numero (ilmoittamatta numeron muodostamista), joka on nostettu eksponentille 1 ilman poikkeuksia (esimerkiksi tekstillä, kuten ”mikä tahansa numero paitsi \_\_\_”), jatkaa väittämällä, että 0 ”ei anna vastausta”. No, koska 0 on luku, ensimmäinen väite tarkoittaa 0⁰ = 1, kun taas toinen väite sanoo, että 0⁰ on määrittelemätön – meillä ei voi olla molempia totta.
Itse asiassa ensimmäistä väitettä on pidettävä ehdoitta totta ja toinen väite vääräksi; sen vuoksi 0⁰ = 1.
Tavanomaiset argumentit, joiden mukaan 0⁰: n katsotaan olevan määrittelemätön:
- 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ / 0¹ = 0/0, mikä on määrittelemätön, joten myös 0⁰, jonka on osoitettu olevan yhtä suuri kuin 0/0, on myös määrittelemätön. (Jotkut positiiviset arvot voidaan korvata luvulla 1.) Tässä yritetään käyttää vallanjakoa, mutta se on virheellinen yritys. Asiaankuuluva vallanjako ei ole yksinkertaisesti x ^ {a-b} = \ frac {x ^ a} {x ^ b}, mutta sillä on rajoituksia tai ehtoja, jotka on ilmoitettava ja joita on noudatettava. Yksi monista rajoituksista on, että tämän vallanjako-osan soveltamisen missään osassa ei sallita jakamista 0: lla tai vastavuoroisuutta 0: lla. Rajoitusta on rikottu, joten emme saa kirjoittaa 0¹⁻ = 0¹ / 0¹. Koska keskimmäisen askeleen tasa-arvo ei ole, emme voi sanoa, että vasen pää on sama kuin oikea pää. Samaa virheellistä argumenttia voidaan käyttää osoittamaan, että 0³ on määrittelemätön, jonka tiedämme olevan hölynpölyä: 0¹ = 0 eksponentin 1 määritelmän mukaan; 0 2 = 0 1 1 = 0 1 x 0 1 = 0 × 0 = 0; 0⁴ = 0²⁺² = 0² × 0² = 0 × 0 = 0; 0³ = 0⁴⁻¹ = 0⁴ / 0¹ = 0/0, mikä on määrittelemätön.
- x ^ 0 = 1 kaikille nollille x . 0 ^ x = 0 kaikille nollattomille x . Jos annetaan x = 0, yllä olevat lauseet tarkoittavat 0⁰ = 1 ja 0⁰ = 0, mikä on ristiriita, joten 0⁰: n on oltava määrittelemätön. Kun ihmiset esittävät tämän väitteen, he eivät keskeytä tarpeeksi kauan miettimään mitä sanovat. Toinen lause on voimassa positiiviselle reaalille x ja vain. On väärin sanoa ”kaikille nollille x ” toiselle suhteelle. Ensimmäinen suhde on tosiaankin voimassa negatiiviselle reaalille x sekä positiiviselle reaalille x , plus, sen lisäksi, ensimmäinen suhde pätee kaikkiin nollakomplekseihin ja kvaternioniin x , mitä toinen suhde ei voi sanoa. Ei ole järkevää antaa yhtä suurta painoa tapaukselle, joka toimii vain positiivisten todellisten arvojen puolesta, tapaukselle, joka toimii kaikkien muiden kuin nollan todellisten, monimutkaisten ja kvaternioniarvojen kanssa – jälkimmäisten paljon laajempi yleisluonto on paljon arvoista. Lisäksi toisen suhteen suhteen kyseessä oleva x = 0 tapaus on rajalla merkityksellisten tapausten ja merkityksettömien tapausten välillä, joten miksi olettaa, että merkitykselliset tapaukset ovatko ne voimassa ja joita sovelletaan ilman säätöä?
- x ^ y: n raja x ja y -lähestymistapaa 0 ei ole olemassa, koska suuntausarvo riippuu x – ja y kohti 0 – mahdollisten arvojen alue on laaja. (Joskus tämä argumentti yhdistetään yllä olevaan # 2: een.) Tämän argumentin ongelmana on, että määritetäänkö funktio pisteessä ja jos on, mikä arvo on, riippumaton siitä, onko funktiolla raja lähestymässä kyseistä pistettä ja jos on, mikä on rajan arvo. On täysin mahdollista, ettei kumpikaan ole olemassa; on täysin mahdollista, että toinen on olemassa, mutta ei toista; on täysin mahdollista, että molemmat ovat olemassa, jolloin nämä kaksi arvoa saattavat olla samat tai eivät. Tämän seurauksena se, että x ^ y: llä ei ole rajaa, on x ja y lähestymistapa 0 ei sano mitään siitä, onko 0⁰ määritelty vai määrittelemätön. Rajat-keskustelu siitä, onko 0⁰: lla arvo, on täysin merkityksetön.Signum-funktio on esimerkki funktiosta, jolla on polusta riippuva raja, kun x lähestyy 0, mutta sgn 0 on määritelty – erityisesti sgn x määritellään arvoksi 1 positiiviselle reaalille x , 0 arvolle x = 0 ja −1 negatiiviselle todelliselle x , joten x lähestyminen 0 vasemmalta antaa rajaksi −1 ja x oikealle lähestyessä 0 antaa arvon 1, ristiriidan vuoksi raja ei olemassa, vaikka sgn 0 = 0. Tällainen raja-arvon puute ei oikeuta sanomaan, että sgn 0: n on oltava määrittelemätön.
Siinä on yleisimmät argumentit, joita käytetään perustelemaan pitäen 0: ta määrittelemättömänä, joten nyt herää kysymys, mihin arvoon 0⁰ tulisi määritellä, jos sellainen on?
Perusargumentti sisältää nollanoperaation periaatteen, jota sovelletaan kerrottavaan sesti. Ei tekijöiden tulosta on pidettävä multiplikatiivisena identiteettinä 1; symbolisesti \ prod\_ {i = 1} ^ {0} x\_i = 1. ( x ⁰, x\_i = x; laskettaessa 0 !, x\_i = i.) Tämä ominaisuus ei riipu siitä, ovatko kaikki ehdokkaat x\_i nollattomat vai jotkut nollattomat ja jotkut 0 tai kaikki 0. Poikkeustapauksia ei ole, joten meillä on 0! = 1 ja meillä on x ⁰ = 0 rajoituksetta kaikille kvaternioneille (ei vain kaikille reaaliluvuille, ei vain kaikille kompleksiluvuille), joten 0⁰ = 1.
Toinen keskeinen kriteeri on hyödyllisyys. Matemaatikot määrittelevät asioita, koska ne ovat hyödyllisiä tutkimuksessaan. Jos määritelmä ei ole hyödyllinen, ei ole mitään järkeä tehdä sitä, joten onko 0⁰ = 1 todella hyödyllinen tyhjän tuotteen säännön lisäksi? Vastaus on selvästi kyllä. Ota tehosarja \ text {e} ^ x: \ text {e} ^ x = \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ i} {i!}. Matemaatikot ovat todistaneet, että tämä tehosarja lähenee kaikkia kompleksilukuja x ja että tulos on todellakin \ text {e} ^ x. Koska 0 on kompleksiluku ja tämä tehosarja toimii kaikille kompleksiluvuille, sen on toimittava x = 0. Laajennetaan ensin summaus: \ text {e } ^ x = \ frac {x ^ 0} {0!} + \ frac {x ^ 1} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} +…. Joten mitä tapahtuu x = 0: lle? Meillä on: \ text {e} ^ 0 = \ frac {0 ^ 0} {0!} + \ Frac {0 ^ 1} {1!} + \ Frac {0 ^ 2} {2!} +….
Tiedämme, että positiiviseksi eksponentiksi korotettu 0 on 0, mikä pätee kaikkiin termeihin lukuun ottamatta =: n oikealla puolella olevaa ensimmäistä; kaikki nuo termit eivät tee mitään, jotta ne voivat kadota. Tiedämme myös, että mikä tahansa nollasta poikkeava kompleksiluku, joka on nostettu eksponentiksi 0, on yhtä suuri kuin 1 ja e on nollaton kompleksiluku, joten \ text {e} ^ 0 = 1. Siksi meillä on nyt: 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!}. Matemaatikot ovat yhtä mieltä siitä, että 0! = 1 (tyhjän tuotteen sääntö). Siksi 1 = \ frac {0 ^ 0} {0!} = \ Frac {0 ^ 0} {1} = 0 ^ 0. Katso mitä juuri määritimme: 0⁰ = 1. Jotta tämä tehosarja toimisi, meidän on joko määriteltävä 0⁰ olevan 1 tai kirjoitettava erityinen huomautus tehosarjan kanssa, jota se koskee, ja vain nollakompleksille x ja mainitse erikseen erikseen, että e⁰ = 1. Miksi tällainen tarpeeton komplikaatio voimasarjan ilmaisemisesta vain välttääkseen 0⁰ = 1: n määritteleminen ilman mitään aineellista syytä?
Samanlainen asia koskee lukuisia muita tehosarjoja, polynomeja, binomiteoreemaa, erilaisia kombinatorikaongelmia ja muita sovelluksia. On olemassa monia merkittävän yksinkertaistamisen ja yleistämisen tapauksia, jotka määritellään sitten 0⁰ = 1.
Ei ole olemassa tapauksia, joissa on hyödyllistä pitää 0⁰ määriteltävänä muuna arvona kuin 1 eikä pitää 0⁰: tä määrittelemättömänä. Lähin syntyvä tilanne on tietyissä tilanteissa tutkimuksessa todellisessa analyysissä, missä on hyödyllistä, että toiminnot ovat jatkuvia koko toimialueellaan. Koska x ^ y: n (0; 0) lähestymiselle on rajoituksia, se tekee x ^ y: stä epäjatkuvan kohdassa (0; 0) riippumatta siitä, onko 0⁰ itse määritelty, ja jos on, mihin arvoon. Pisteen vetäminen verkkotunnuksesta vaikuttaa käytännössä funktioon, joka ei ole määritelty kyseisessä kohdassa. Se, että on hyödyllistä vetää (0; 0) pois x ^ y: n toimialueelta tutkimusta varten, ei kuitenkaan tarkoita, että sellainen on tehtävä kaikilla matematiikan osa-alueilla. Minun on ehkä käsiteltävä bijektiivisiä toimintoja invertoitavuuden tukemiseksi. Jos työskentelen x ²: n kanssa ja tarvitsen käännettävyyden, minun on rajoitettava toimialue sellaiseen kuin ei-negatiivisten reaalilukujen joukko, mikä tarkoittaa tarkoitukselleni, että (- 3) ² on määrittelemätön, mikä olisi naurettavaa rajoitusta määrätä sinulle; samoin jotkut matemaatikot, jotka tarvitsevat 0⁰: n määrittelemättömän, eivät tarkoita, että se on rajoitus, joka asetetaan kaikille matemaatikoille.Itse asiassa tyhjän tuotteen sääntö on vallitseva kokonaislukueksponenttien yhteydessä, kun taas jatkuvuutta koskevia kysymyksiä esiintyy vain todellisten eksponenttien yhteydessä. Yksi mahdollinen ratkaisu on pitää 0 = 1, kun eksponentti on kokonaisluku 0, mutta määrittelemätön, eksponentti on todellinen 0; jos tämä kuulostaa sinulle oudolta, että vastaus riippuu siitä, pidetäänkö arvoa kokonaislukuna yleisempään reaalilukuun nähden, tämä ei ole ainutlaatuinen arvolla 0⁰ tehofunktiolle, koska (-8) ^ {1/3} on katsotaan −2, jos −8 katsotaan reaaliluvuksi, mutta 1 + i√3, jos −8 pidetään kompleksilukuna. Tehofunktio x ^ y näyttää niin yksinkertaiselta, mutta sillä on todella ikävää käyttäytymistä.