paras vastaus
Matriisimuunnos on päällä ja vain, jos matriisissa on kääntyvä sijainti kullakin rivillä. Vähennä sitä rivillä ja tarkista sitten, onko saranoiden lukumäärä yhtä suuri kuin rivien lukumäärä.
Okei, minun ei tarvitse tehdä sitä nyt.
Aina kun joku käyttää matriisiin adjektiivin “päälle” tai “lineaarisesti riippumaton”, minä raivostun hieman. Se on luokan virhe. Sen sijaan sano: ”Mistä tiedät, onko matriisin muunnos päällä?”
Näet, terminologia on erittäin tärkeää matematiikassa . Lineaarisen algebran kauneus on, että kun annetaan lineaarinen järjestelmä tai lineaarinen muunnos, voit kirjoittaa -matriisin , joka on vain suorakulmio, jossa on numeroita, joka liittyy että lineaarinen järjestelmä tai lineaarinen muunnos. Sitten tekemällä erilaisia asioita numeroruudun avulla saat takaisin kaikenlaista tietoa alkuperäisestä järjestelmästä tai muunnoksesta. Lineaarinen algebra on ensisijaisesti näiden suhteiden tutkimus. Kuitenkin useimmat lineaarisen algebran opiskelijat, kun he käyttävät terminologiaa väärin, paljastavat, etteivät he täysin ymmärrä, miten on olemassa erillisiä käsitteitä, jotka liittyvät toisiinsa.
Adjektiivi “päälle” ei yksinkertaisesti koske matriiseja. Tämä on kuin kysyä: ”Kuinka voit selvittää, onko sänky uninen?” Se, että kysyt tämän kysymyksen, tarkoittaa, että et ymmärrä mitä unelias tarkoittaa tai mitä vuode tarkoittaa tarkoittaa tai molempia.
Tässä on huijausarkki, jossa on lineaarisessa algebrassa havaitut päätyyppiset objektit, sekä muutama yleisimpiä termejä, joita käytetään kuvaamaan niitä:
-matriiseille A, B seuraavat lauseet eivät ole katkera:
– A on muodossa (rivin ešelonin muoto / pienennetyn rivin ešelonin muoto)
-pivot (sijainnit / rivit / sarakkeet A;
-A on (neliö / lävistäjä) / invertible / ylempi kolmiomainen / alempi kolmikulmainen)
– (Sijoitus / Determinantti / Ominaisarvot / Ominavektorit / Ominaispolynomi) A
– (tyhjä tila / saraketila) kohteelle A;
– A on (rivi vastaava / samanlainen) kuin B
-matriisimuunnos \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x
Jos A x = b on lineaaristen yhtälöiden järjestelmä , seuraavat lauseet eivät ole katkeria:
– (Ratkaisu / Ratkaisusarja / Yleisratkaisu) järjestelmästä
-Järjestelmällä on (ainutlaatuinen ratkaisu / ei ratkaisuja / äärettömän monta ratkaisua / n vapaat muuttujat)
-Järjestelmä on (johdonmukainen / epäjohdonmukainen / aliedustettu / ylimääritetty)
– (Kerroinmatriisi / Lisätty matriisi) järjestelmän
Jos T: \ mathbb R ^ n \ mapsto \ mathbb R ^ m on lineaarinen muunnos , seuraava: lauseet eivät ole gibberit sh. Huomaa, että jos A on matriisi, voidaan puhua matriisimuunnoksesta \ mathbf x \ mapsto A \ mathbf x, joka on lineaarinen muunnos.
– (Domain / Codomain / Range) arvosta T
– T on (päälle / yksi / yksi / kääntyvä)
– T; T -matriisi suhteessa emäksiin \ beta\_1, \ beta\_2
– (Rank / Determinant / Eigenvalues / Eigenvectors / Characteristic T
polynomi) jos S = \ {v\_1, v\_2, \ ldots, v\_n \} on vektorijoukko kohteessa \ mathbb R ^ m , seuraavat lauseet eivät ole hämmentäviä. Huomaa, että jos A on m \ kertaa n-matriisi, niin sarakkeet A tällainen joukko.
– S on lineaarisesti (riippumaton / riippuvainen)
– S
-S (ulottuu V / on perusta kohteelle V ), jossa V on \ mathbb R ^ m: n alatila
Vastaus
Äärellinen ulotteinen neliömatriisi on päällä vain siinä tapauksessa, että sen determinantti ei ole nolla. Voit tarkistaa tämän tehokkaimmin Gaussin eliminoinnilla.
Yleisesti ottaen rajallinen suorakulmainen matriisi on päällä vain siinä tapauksessa, että sen transponointi on injektoivaa, mikä tapahtuu vain siinä tapauksessa, että alkuperäisen matriisin rivit (tai sarakkeet riippuvat käytettävästä käytännöstä mitä syötteessä käytetään) ja mitkä lähdöt) ovat lineaarisesti riippumattomia, toisin sanoen matriisilla on täysi rivin sijoitus. Jälleen Gaussin eliminointi on ystäväsi: laita matriisi rivin muotoiseksi ja tarkista onko oikeassa alakulmassa oleva merkintä nolla rivejä kaikista nollista). Matriisi on päällä ja vain, jos oikeassa alakulmassa oleva merkintä on nolla.