Paras vastaus
George Gamow kertoo kuinka Galileo pääsi tähän kaavaan kirjassaan ”Gravity”.
Galileo tutki putoavia ruumiita. Hän halusi tietää matemaattisen suhteen kohteen pudotuksesta kuluvan ajan ja kuljetun matkan välillä. Joten hän teki kokeen.
Hän rakensi kaltevan tason. Sitten hän antoi eri materiaaleista peräisin olevien pallojen rullata alaspäin (Hän ei työntänyt niitä). Hän mitasi pallon kulkemat matkat 1., 2., 3. ja 4. sekunnin lopussa. Hän olisi voinut järjestää pallon vapaan pudotuksen suoraan. Mutta vapaa pudotus on melko nopeaa, eikä hänellä ollut tuolloin hyviä kelloja. Suorittamalla kokeen kaltevalle tasolle, hän pienensi palloon vaikuttavaa painovoimaa ja lisäsi aikaa saavuttaa pohjan, joka riippuu kaltevan tason kaltevuudesta. Seuraava kuva selittää tämän:
Kuviosta voimme osoittaa, että
[math] \ frac {mgsin (a)} {mg} = sin (a) = \ frac {x} {z} [/ math].
Siksi pienempi x, pienempi on liike, joka aiheuttaa voimaa ja enemmän on aikaa, jonka pallo vie pohjaan. Galileo havaitsi, että pallon kulkemat etäisyydet toisen, kolmannen ja neljännen sekunnin lopussa ovat vastaavasti 4, 9 ja 16 kertaa ensimmäisen sekunnin lopussa. Tämä osoittaa, että pallon nopeus kasvaa siten, että pallon kulkemat etäisyydet kasvavat matka-ajan neliöinä. Nyt kysyttiin, kuinka suhteuttaa nopeus etäisyyden ja ajan suhteen yllä annettuun aikaan. Galileo sanoi, että tällainen etäisyys-aika-suhde voidaan saada vain, kun pallon nopeus on suoraan verrannollinen aikaan. Seuraava kuva näyttää edellä mainitun kokeen nopeuden vs. aikakäyrän ja Galileon lausunnon:
Yllä olevassa kuvassa kohta A vastaa pallon nolla-asemaa (kaltevan tason yläosassa) ja piste B vastaa palloa, jonka nopeus on v aikavälin t lopussa. Tiedämme, että kolmion ABC alue antaa meille pallon kulkeman etäisyyden , s, aikavälillä (0, t). Siksi kuljettu matka on
s = \ frac {1} {2} vt.
Mutta kuten Galileossa ” argumentti, v on suoraan verrannollinen t: ään, ts. v = missä a on kiihtyvyys.
[math] s = \ frac {1} {2} vt = \ frac {1} {2} kohdassa ^ 2. [/ math]
Joten kuljettu matka kasvaa ajan neliönä, joka oli kokeellinen havaintomme. Tämä kaava antaa kuljetun matkan, kun pallolle ei anneta alkunopeutta. Mutta kun pallolla on jonkin verran alkunopeutta u, termi ”ut” lisätään yllä olevaan kaavaan, joka on ajassa t ajettu nopeus u: lla. Tämä termi vain lisää kokeessa mitattuja etäisyyksiä, mutta säilyttää saman etäisyys-aika-suhteen. Siksi lopullinen kaava on:
s = ut + \ frac {1} {2} kohdassa ^ 2.
Vastaa
Yritettäessä todistaa mitään liittyvää positiivisiin kokonaislukuihin, ensimmäisen ajatuksesi tulisi olla induktio. Ongelmana on, ettei ole mitään välittömästi näkyvää tapaa edetä. Haluamme pystyä lisäämään jotain epätasa-arvon molemmille puolille, mutta silloin sidos oikealla puolella kasvaisi.
Tämän ongelman temppu on tehdä sidoksesta tosiasiallisesti vahvempi kuin se on tällä hetkellä. Joten todistamme siihen liittyvän lauseen.
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {n}
kaikille positiivisille kokonaisluvuille n \ geq 3. Alkuperäinen lause seuraa sallimalla n lähestyä ääretöntä.
Huomaa, että positiivisella kokonaisluvulla k meillä on
\ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {(k + 1 ) ^ 2}> \ dfrac {1} {k} – \ dfrac {1} {k (k + 1)} = \ dfrac {k} {k (k + 1)} = \ dfrac {1} {k + 1}.
Tämän tietäen voimme jatkaa induktiolla.
Koska \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} = \ dfrac {13} {36} dfrac {5} {12} = \ dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {3}, perustapaus n = 3 on tosi.
Oletetaan nyt, että lause on totta joillekin k: lle, nimittäin että
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} { 4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k}.
Haluamme osoittaa, että lauseke pätee myös k + 1: lle. Voit tehdä tämän lisäämällä \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} molemmille puolille:
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2 } + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2}.
Edellä todistetusta epätasa-arvosta tämä yksinkertaistuu muotoon
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {k ^ 2} + \ dfrac {1} {(k + 1) ^ 2} dfrac {3} {4} – \ dfrac {1} {k + 1},
juuri sen, mitä halusimme todistaa.
Siksi muokattu lauseke pätee matemaattisen induktion periaatteella kaikkiin kokonaislukuihin n \ geq 3, joten myös alkuperäinen lausuma on totta.
MUOKKAA: Kuten Predrag Tosic huomautti kommenteissa, kun annamme n lähestyä ääretöntä, erkki on vaihdettava \ leq sisään tapauksessa eriarvoisuuden kaksi puolta yhtenevät samaan arvoon.Tämä voidaan kuitenkin korjata todistamalla sen sijaan epätasa-arvo
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots + \ dfrac {1} {n ^ 2} dfrac {3} {4} – \ epsilon – \ dfrac {1} {n}
pienelle \ epsilon ( sanoa \ dfrac {1} {100}), mikä n: n lähestyessä ääretöntä johtaisi tulokseen
\ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} + \ cdots \ leq \ dfrac {3} {4} – \ epsilon,
josta haluttu lauseke seuraa.