Paras vastaus
Intuitiivisesti 3: n nimittäjä tarkoittaa, että luku ”jaetaan” kolmeen yhtä suureen osaan. 27 jaettuna 3: lla on 9. Toisin sanoen kukin kolmesta ryhmästä on yhtä suuri kuin 9.
2/3 osoittaa, että 3: sta 9: n ryhmästä vain 2 3: sta ryhmästä on huolestuttava. Siksi 2/3 on 9 + 9 = 18.
2/3 27: stä on 18.
Vastaus
John K Williamsson antoi hyvän vastauksen: sille, mitä hän kutsui \ frac {1} {2} ja \ frac {8} {9} ”likaiseksi summaksi” (matemaattinen termi on välittäjä ):
\ frac {1} {2} frac {1 + 8} {2 + 9} frac {8} {9}
Hän ehdottaa Käytä algebraa todistaaksesi välittävän eriarvoisuuden : jos a, b, c, d ovat positiivisia lukuja ja
\ frac {a} {b } frac {c} {d}
sitten
\ frac {a} {b} frac {a + c} {b + d} frac { c} {d}.
Haluan lisätä, että peruskoulun tasolla välittävä eriarvoisuus ei tarvitse algebrallista todistusta, se on riittävän itsestään selvää.
Itse asiassa pitää murto-osia \ frac {1} {2} ja \ frac {8} {9} kuvauksina tosielämän tilanteista:
\ frac {1} {2}: 2 lapsella on yksi pussi hedelmiä .
\ frac {8} {9}: 9 lapsella on 8 pussia hedelmiä.
He kokoontuvat ja jakavat tasavertaisesti: 1 + 8 hedelmäpussi 2 + 9 = 11 lasta, ne muodostavat välittäjän:
\ frac {1 + 8} {2 + 9}
Mikä lapsiryhmä menettää ja kuka voittaa tässä jakamisessa? Tietysti 2 lasta yhdellä laukulla: heillä on \ frac {1} {2} laukkua päätä kohti, toisella ryhmällä on suurempi osuus henkeä kohti: \ frac {8} {9}. Samasta syystä toisen ryhmän lapset häviävät.
Luennoissani käytän esimerkkiä lasten kanssa ja makeispusseja; täällä korvasin makeiset poliittisesti korrektsemmilla hedelmillä – ehkä minun täytyy mennä pidemmälle ja käyttää vihreitä vihanneksia hedelmien sijasta. Alkuperäinen idea kuului suurelle Israel Gelfandille , ja se ilmaistiin värikkäämmällä kielellä:
Voit selittää matematiikkaa kaikille, myös juopojille. Jos kysyt joiltakin ihmisiltä, jotka juovat vodkaa puiston penkillä, mikä on isompaa, \ frac {2} {3} tai \ frac {3 } {4} , he vastaavat selityksillä. Mutta jos kysyt heiltä, mikä on parempi, 2 pulloa vodkaa 3 ihmisille tai 3 pulloa vodkaa 4 ihmiselle, he antavat sinulle heti oikean vastauksen: kurssi, 3 pullot 4 ihmisille.
Ja tämä välitön johtopäätös tulee väitteestä, joka on välillisen epätasa-arvon epävirallisen todistuksen kääntäminen: miten päästä tilanteesta ”2 pulloa 3 hengelle” tilanteeseen ”3 pulloa 4 hengelle”? Tietysti se tarkoittaa, että neljäs mies tulee ja tuo mukanaan kokonaisen pullon – voitko kuvitella, koko pullon vodkaa! Välittävässä eriarvoisuudessa
\ frac {2} {3} frac {2 + 1} {3 + 1} frac {1} {1},
tai
\ frac {2} {3} frac {3} {4} .
Olen nähnyt joitain artikkeleita, jotka vahvistavat, että tämä on tyypillinen aritmeettinen malli ajattelu, kuten normaalit ihmiset tekevät tosielämän tilanteissa (esimerkiksi olen nähnyt väitteen, jonka mukaan sairaalan sairaanhoitajat vertailevat lääkeannoksia, kumpi on suurempi ja mikä pienempi).