Paras vastaus
Annettu Rt-kolmio, sivut 18, 24, 30; Etsi merkitty ympyrän säde.
Lyhyt vastaus; Rt-kolmion kaiverrettu ympyrän säde on
Pinta-ala / (1/2 kehä)
Alue on Korkeus X puolet alustasta; eli
18 * 12 = 216
Kehä on 18 + 24 + 30 = 72; ja jaetaan 2: lla
72/2 = 36
Ympyrän säde on 216/36 = 6 cm
Pitkä vastaus
Rakentaminen:
Puolittele AC ja CA, tarkista leikkauspisteessä sijaintipiste BC, Sen Ok niin päästää irti … ..
Tee kompassilla ja lyijykynällä ympyrä koskettamalla mitä tahansa sivua, seuraamalla sen ympärillä koskettaa kahta muuta sivua.
AD: n ja CE: n leikkauspiste, O.
Pudota siitä kohtisuora kummallekin puolelle P: ssä, Q: ssa ja R: ssä.
Risteys O on yhtä kaukana sivuista AB, BC ja AC. (Katso III alla)
I.
Harkitse kolmioita, BPO: ta ja BRO: ta.
Kulmat BO = BO (rakentaminen).
Viiva BO on yhteinen molemmille kolmioille.
Kulmat RO = PO (muodostetut Rt-kulmat).
Ergo-kolmioiden BPO ja BRO ovat yhtenevät.
Tästä seuraa rivi BP = BR.
Mutta tiedämme, että BR = BC – r.
Joten BP = BC – r; tai 24 – r.
Samalla argumentilla voimme todistaa PA = AC -r: tai 18 – r.
Joten.
BP = 24 – r; PA = 18 – r; ja BP + PA = BA.
Yhdistämällä johtopäätökset … … BP + PA = (24 – r) + (18 – r) Korvaamalla BP BP: lle ja PA: lle ja yksinkertaistamalla…
Joten, BA = 42 – 2r.
Mutta BA = 30 (annettu). Korvaa BA.
30 = 42 – 2r … yksinkertaistaminen …. 2r = 42 – 30.
2r = 12.
Ergo r = 6.
QED.
II.
Säteen todettiin olevan => 6 yksikköä.
Aritmeettinen näyttää olevan,
Tämän kolmion sarjan kaikkien sivujen summa, / 12 = Kaiverrettujen säde ympyrä.
18 + 24 + 30 = 72
Säde = 72/12 = 6.
Toivottavasti auttaa.
Re ; kaavat muissa vastauksissa, kiitos jokaiselle. Uusi minulle!… Lol. Opin jotain uutta Quorasta joka päivä. Suosikkini on alue / (0,5 * kehä) = merkitty ympyrän säde… .216 / 36 = 6…
MUOKKAA 6/26 / 17
III.
Kuvion rakenteesta
BPO- ja BOR-kolmiot ovat yhtenevät, todistettu yllä. Myös APO ja AOQ voidaan samoin todistaa yhdenmukaisiksi.
Ergo
Linjat OP = OR ja OQ = OP. Koska OP on yhtä suuri kuin OR ja OQ, nämä ovat yhtä suuria keskenään, toisin sanoen – OR = OQ. Näin ollen tämä on osoitus siitä, että sen kulmien leikkauspiste on kuvan keskipiste, suorakulmainen kolmio ja yhtä kaukana sen kolmesta sivusta.
QED
Vastaa
Kiitos, että esitit tämän mukavan kysymyksen, herra Lloyd – paitsi vastaus kysymykseesi on kyllä , mutta niitä on loputtomasti (tasainen ) kolmioita pyytämiesi ominaisuuksien kanssa, ja kuten käy ilmi, on mahdollista lajitella jotkut niistä kauniisti ympyränsä säteellä siten että mainitut säteet jäljittävät tai varjostavat luonnollisten numeroiden joukkoa 1, 2, 3, 4 ja niin edelleen.
Toisin sanoen, käytämme tulevaa keskustelua suunnitelmana mahdollisesti muodollisemmalle todisteelle, aiomme näytä mekaaninen tapa tuottaa kolmio, jonka kaikkien sivujen pituudet ovat kokonaislukuja, ja jonka ympyrän säteen pituus on kokonaisluku n etukäteen.
Sivupalkki: tämän tyyppiset kysymykset on paljon tekemistä peruslukuteorian kanssa ja hyvin vähän tekemistä geometrian kanssa.
Yksi perhe (tasomaisista) kolmioista, joka on taattu vaadittujen ominaisuuksien saaminen heti lepakosta ovat ns. Pythagorean kolmiot – oikeat (toistaiseksi) kolmiot, joiden kaikkien sivujen pituudet ovat kokonaislukuja.
Sovitaan, että Pythagoraan kolmion sivujen pituudet ovat kokonaisuus, ehdottomasti positiivinen, numerot a, b ja c siten, että:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ tag {1}
Sovittakaamme myös, että kun kaikki kolme kokonaisluvut a, b, c ovat kopriimeja, sitten vastaavaa Pythagorean kolmioa kutsutaan primitiiviseksi ja oletetaan hetkeksi, että onnistuimme jotenkin löytämään yhden tällaisen primitiivisen kolmion a\_0 , b\_0, c\_0.
Koska ( 1 ) -suhteessa ei ole muita vapaasti kelluvia termejä, seuraa, että skaalamalla kaikki numerot, jotka muodostavat primitiivinen Pythagorean kolmio samalla ehdottomasti positiivisella kokonaisluvulla k:
\ left (ka\_0 \ right) ^ 2 + \ left (kb\_0 \ right) ^ 2 = \ left (kc\_0 \ right) ^ 2 \ tag * {}
saamme uuden kolmion, joka on:
- myös pythagoralainen
- ei enää primitiivinen (k> 1: lle)
- samanlainen kuin sen primitiivinen Pythagorean kolmio a\_0, b\_0, c\_0
- suurempi kuin sen primitiivinen Pythagorean kolmio a\_0, b\_0, c\_0
Se seuraa sitten että on olemassa äärettömän monia ei-primitiivisiä Pythagorean kolmioita, jotka on muodostanut (yksi) annettu primitiivinen Pythagoraan-kolmio. Annettu primitiivinen Pythagorean kolmio on pienin sen perheessä, koska sen sivujen pituutta ei voida enää pienentää. Ei ole kahta erillistä primitiivistä Pythagoraan kolmiota, jotka ovat samanlaisia.
Huomaamme ohimennen, että emme yleensä heitä matemaattisia lausuntoja ympäriinsä – todistamme ne oikein silloin tällöin, mutta koska tämän vastauksen painopiste ei ole todiste siitä, että Yllä olevien ominaisuuksien perusteella otamme ne nyt uskoon totta (kysy asiaankuuluvia todisteita erikseen, jos kiinnostunut).
Siksi on perinteisesti alun perin mielenkiintoista palauttaa primitiivinen Pythagorean kolmiot, koska kaikki muut Pythagoran kolmiot voidaan luoda niiden primitiivisistä kollegoista, kuten yllä on selitetty.
Harjoituksena voimme osoittaa, että ( 1 ) ratkaisujen täydellinen parametrointi:
a = m ^ 2 – n ^ 2, \; b = 2mn, \; c = m ^ 2 + n ^ 2 \ tag {2}
missä m ja n ovat kaikki parit vastakkaisen pariteetin mukaisia kokonaislukuja, joiden m> n. vastapariteetti tarkoittaa, että toisen näistä numeroista ei ole väliä kumpi, on oltava pariton, kun taas toisen – on oltava parillinen.
Jos olet kiinnostunut, kysy sitten erillinen kysymys siitä, mistä ( 2 ) tuli – esitämme mielellämme vähennyksen tämä tosiasia on kaistan ulkopuolella, jotta nykyistä vastausta ei saastuteta liikaa teknisillä tiedoilla.
( 2 <: n ratkaisuille on olemassa vaihtoehtoinen parametrisointi span>), jonka myös täällä jätämme pois.
Tarkastellaan nyt mielivaltaista suorakulmaista kolmiota, jonka sivut a ja b, hypotenuus c ja säde r (kuva 1):
Jos lisätään vihreä yhtälö kuvassa 1 esitettyyn siniseen yhtälöön ja käytetään harmaata yhtälöä x + y: lle, löydämme:
c + 2r = a + b \ tag * {}
mistä:
r = \ dfrac {a + b – c} {2} \ tag {3}
Oletetaan, että yllä olevat ovat oikeita t-kolmio on primitiivinen Pythagorean kolmio. Jos otamme arvojen a, b ja c arvosta ( 2 ) ja laitamme ne ( 3 ), niin meillä on:
r = \ dfrac {m ^ 2-n ^ 2 + 2mn – m ^ 2 – n ^ 2} {2} \ tag * {}
Täällä m ^ 2: t perutaan ja n ^ 2 kaksinkertaistuvat:
r = \ dfrac {2mn – 2n ^ 2} {2} \ tag * {}
Arvioimalla 2n edellisestä nimittäjästä, saavutamme:
r = \ dfrac {2n (m – n)} {2} \ tag * {}
mikä tarkoittaa, että:
r = n (mn) \ tag {4}
mikä kertoo meille, että missä tahansa primitiivinen Pythagorean kolmio, jonka säteen pituus on kokonaisluku (älä unohda m> n-rajoitetta, katso ( 2 )), koska ero kaksi kokonaislukua on aina kokonaisluku ja kahden kokonaislukun tulo on aina kokonaisluku.
Harkitse seuraavaksi mitä tahansa primitiivistä k-kolmiota – eli Pythagoraan kolmiota, jonka kaikkien sivujen pituudet ovat olleet skaalataan tasaisesti jollakin tiukasti positiivisella kokonaisluvulla k> 1. Koska tällaiset pituudet tulevat yhtälöön ( 3 ) tiukasti lineaarisin ehdoin, vastaavan säteen pituuden saamiseksi meidän on vain kerrottava ( 4 ) RHS: n k:
r\_k = kn (mn) \ tag {5}
Joten kummallakin tavalla, Pythagorean kolmion säteen pituus on aina kokonaisluku, koska kohteen ( 4 , 5 ) ovat aina – kahden kokonaisluvun ero on aina kokonaisluku ja kahden kokonaisluvun tulo on aina kokonaisluku.
Huomaa, että yhtälö ( 5 ) voidaan lukea oikealta vasemmalle . Tarkoituksena on, että voimme ottaa kokonaisluvut k, m, n syötteeksi ja sitten ( 5 ) tuottaa integraalin säteen lähdöksi.
Yritetään nyt mennä päinvastaiseen suuntaan – katsokaamme, voimmeko tehdä tilauksen säteen pituudelle ja palauta näiden tietojen perusteella vastaavan Pythagoraan kolmion pituudet.
Ilmeisesti Pythagoras itse, monta vuotta sitten, onnistui tuottamaan osittaisen parametroinnin ( 1 ) tutkimalla Pythagorean kolmioita, joiden lyhyempien sivujen pituudet muodostavat peräkkäisten parittomien luonnollisten numeroiden sarjan a = 2n + 1.
Tällöin, jotta merkitykselliset luvut pysyvät kokonaisina mysteerisen Pythagorean kolmion sivun b pituuden ja hypotenuusin c pituuden on erottava yhtenäisyydellä: c = b + 1. Siksi alkaen ( 1 ) meillä on:
(2n + 1) ^ 2 + b ^ 2 = (b + 1) ^ 2 \ tag * {}
Yllä olevan sulun avaaminen:
4n ^ 2 + 4n + 1 = b ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 \ tag * {}
näemme, että b ^ 2: t ja 1: t peruuttavat:
4n ^ 2 + 4n = 4n ( n + 1) = 2b \ tag * {}
eli:
b = 2n (n + 1), \; c = b + 1 = 2n (n + 1) + 1 \ tag {6}
Näiden arvojen palauttaminen ( 3 ) , havaitsemme, että:
r = \ dfrac {2n + 1 + 2n ^ 2 + 2n – 2n ^ 2 – 2n – 1} {2} \ tag * {}
r = \ dfrac {2n} {2} = n \ tag {7}
Eikö se ole mukavaa?
Siten – lajitteluviite.
Toisin sanoen, jos annat meille mielivaltaisen luonnollisen luvun n> 0, voimme luoda Pythagoraan kolmion, jolla on täsmälleen haluamasi ominaisuudet:
a = 2n + 1, \; b = 2n (n + 1), \; c = 2n (n + 1) + 1, \; r = n \ tag {8}
mikä tarkoittaa, että yllä oleva kaavaryhmä laskee kolmion säteen integraalin pituuden ja sen sivujen integraalipituudet kautta luonnollisten numeroiden joukon \ mathbb {N} kautta.
Se tarkoittaa myös sitä, että voimme kirjoittaa tietokoneohjelman, esimerkiksi C-ohjelmointikielellä väliaineena, etukäteen joka luo pyydetyt kolmiot pyynnöstä:
#include
#include
extern int
main( int argc, char* argv[] )
{
int i;
int n;
int a;
int b;
int c;
for ( i = 1; i
{
n = atoi( argv[ i ] );
a = 2*n + 1;
b = 2*n*(n + 1);
c = b + 1;
}
return 0;
}
Olettaen, että yllä oleva koodi on tallennettu tiedostoon ptr.c, rakenna se näin:
gcc -g - o ptr ptr.c
ja suorita se näin:
./ptr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
9 19 180 181
10 21 220 221
11 23 264 265
12 25 312 313
13 27 364 365
missä halpaan jännitykseen sisällytimme dramaattisesti hypotenuusin, jonka pituus on 365.
Ohjelma hyväksyy joukon luonnollisia numeroita komentokehotteesta ja kullekin tällaiselle luvulle n tuottaa PythagoraanKolmio, jonka sivujen pituudet takaavat, että kyseisen kolmion säteen pituus on yhtä suuri kuin syötetyn luonnollisen luvun n.
Lähdön muoto on: ensimmäinen sarake näyttää säteen n arvon, toinen sarake näyttää a: n arvon, kolmas sarake näyttää b: n arvon ja neljäs sarake näyttää c: n arvon.
Lisäksi -alue S Pythagoraan kolmioista:
S = \ dfrac {ab} {2} \ tag {9}
taataan myös kokonaisluku, koska a ja b kohdasta ( 2 ) osaksi ( 9 ), löydämme:
S = \ dfrac {\ vasen (m ^ 2 – n ^ 2 \ oikea) 2mn} {2} = \ vasen (m ^ 2 – n ^ 2 \ oikea) mn \ tag * {}
joka on aina kokonaisluku.
Lopuksi tilanne mielivaltaisella, lue – ei oikealla, kolmioilla on herkempi.
Jos jaamme tällaisen kolmion kolmeen pienempään kolmioon tiukasti, ilman aukkoja ja ilman päällekkäisyyksiä, kuten alla on esitetty (kuva.2):
silloin, koska tässä tapauksessa kokonaisuus on yhtä suuri kuin sen osien summa, alueelle S tällaisesta kolmiosta meillä on:
S = \ dfrac {ar} {2} + \ dfrac {br} {2} + \ dfrac {cr} {2} \ tag * {}
mikä tarkoittaa, että:
S = r \ cdot p = \ dfrac {rP} {2} \ tag * {}
jos olemme samaa mieltä siitä, että P on kolmion täydellinen kehä ja p on kolmion puolimittari .
Tästä seuraa, että säteen säteen r arvo on:
r = \ dfrac {2S} {P} = \ dfrac {S} {p} \ tag * {}
Jotta r olisi kokonaisluku, joko P: n on jaettava kokonaisluku-2S tai p: n on jaettava kokonaisluku S.
Olkoon argumentin vuoksi sopiva nimeämään tasomainen ei suorakulmaiset kolmiot, joiden kaikkien sivujen pituudet ovat kokonaislukuja ja joiden pinta-ala on kokonaisluku Diofantiini .
Nyt on olemassa (komposiitti) diofantiinikolmioita sellaisia, että:
- he ovat kompoja sed kahdesta Pythagorean kolmiosta yhtä yhteistä sivua pitkin ja
- niiden säteen pituus on ei kokonaisluku
Todiste: 5, 5, 6 yhdistetyn Diophantine-kolmion alue, joka koostuu kahdesta 3,4,5 pythagoraanisesta kolmiosta b = 4-puolella, on 12, kun taas sen puolimittarin pituus on 8. Mutta 8 ei jaa kokonaislukua 12. \ musta ruutu
Siellä olemassa (komposiitti) Diophantine-kolmiot siten, että:
- ne ovat koostumus kahdesta Pythagorean kolmiosta yhdellä yhteisellä puolella ja
- niiden säteen pituus on kokonaisluku
Todiste: 13,14: n alue, 15 yhdistetty Diophantine-kolmio, joka koostuu kahdesta Pythagoran kolmiosta 5,12,14 ja 9,12,15 pitkin b = 12-sivua, on yhtä suuri kuin 84, kun taas sen puolimittari on 42. Mutta 42 jakaa kokonaisluvun 84 : 42 \ cdot 2 = 84. \ blacksquare
On olemassa (ei-komposiittisia?) Diofanttisia kolmioita, jotka:
- ne eivät voi koostua kahdesta Pythagoraan kolmiosta, mutta
- heidän säteensä pituus on kokonaisluku
Todiste: 65,119,180-kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin 1638, kun taas sen puolimittari on 182. Mutta 182 jakaa kokonaisluvun 1638: 182 \ cdot 9 = 1638.
Ehdokas suorakulmiossa sivuilla a ja b kaksi kertaa pinta-ala 2S on yhtä suuri kuin a: n ja b: n tulo, katso ( 9 ): 2S = a \ cdot b. Siksi molempien numeroiden a ja b on jaettava 2S.
Onko tämä kolmiomme kohdalla?
Ei.
Mikään sivun pituuksista ei ole meidän kolmio jakaa suuruuden yhtä suureksi kuin 1638 \ cdot 2.
Tästä syystä: 1638 \ cdot 2: n alkutekijä on 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13:
1638 \ cdot 2 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 7 \ cdot 13 \ tag * {}
Kolmion sivujen pituuksien pääkertoimet ovat :
65 = 5 \ cdot 13 \ tag * {}
119 = 7 \ cdot 17 \ tag * {}
180 = 2 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 5 \ tag * {}
Siksi kolmion korkeuden korkeutta ei voida ilmaista kokonaislukuna, joten tällaista Diophantine-kolmiota ei voida koostuu kahdesta Pythagoraan kolmiosta pitkin yhteistä sivua, jolla on oltava kohdekolmion korkeuden rooli. \ blacksquare
Näemme, että voidaksemme tehdä laajan lausunnon diofanttisen kolmion säteen säteestä, meidän on analysoitava tilannetta huolellisesti ja todennäköisesti tarkasteltava järkevät kolmiot .
Toivon, että en tehnyt keskustelustamme liian monimutkaista, mutta se on mitä se on – alkeisnumeroteoria enimmäkseen.