Paras vastaus
#python
print(2**10000)
2844061536738951487114256315111089745514203313820202931640957596464756010405845841566072044962867016515061920631004186422275908670900574606417856951911456055068251250406007519842261898059237118054444788072906395242548339221982707404473162376760846613033778706039803413197133493654622700563169937455508241780972810983291314403571877524768509857276937926433221599399876886660808368837838027643282775172273657572744784112294389733810861607423253291974813120197604178281965697475898164531258434135959862784130128185406283476649088690521047580882615823961985770122407044330583075869039319604603404973156583208672105913300903752823415539745394397715257455290510212310947321610753474825740775273986348298498340756937955646638621874569499279016572103701364433135817214311791398222983845847334440270964182851005072927748364550578634501100852987812389473928699540834346158807043959118985815145779177143619698728131459483783202081474982171858011389071228250905826817436220577475921417653715687725614904582904992 4610286300815355833081301019876758562343435389554091756234008448875261626435686488335194637203772932400944562469232543504006780272738377553764067268986362410374914109667185570507590981002467898801782719259533812824219540283027594084489550146766683896979968862416363133763939033734558014076367418777110553842257394991101864682196965816514851304942223699477147630691554682176828762003627772577237813653316111968112807926694818872012986436607685516398605346022978715575179473852463694469230878942659482170080511203223654962881690357391213683383935917564187338505109702716139154395909915981546544173363116569360311222499379699992267817323580231118626445752991357581750081998392362846152498810889602322443621737716180863570154684840586223297928538756234865564405369626220189635710288123615675125433383032700290976686505685571575055167275188991941297113376901499161813151715440077286505731895574509203301853048471138183154073240533190384620840364217637039115506397890007428536721962809034779745333204683687 95868580237952218629120080742819551317948157624448298518461509704888027274721574688131594750409732115080498190455803416826949787141316063210686391511681774304792596709376
Vastaa
Olennainen asia desimaalin on, että se on vain yksi monet lomakkeet, joita käytetään numeroiden esittämiseen. Se on kuitenkin niin yleinen muoto, että monet (omasta syystään) yhdistävät numeron itse muotoon. Ja jos kahdella numerolla on kaksi erilaista muotoa, niiden on oltava eri numeroita, eikö?
Mutta entä kaksi seuraavaa numeroa:
\ displaystyle {\ qquad \ frac {41217896017} {82435792034} \ quad \ text {ja} \ quad \ frac {1} {2}?}
Aivan erilaiset esitykset , mutta käymällä läpi ja tekemällä tarvittavat laskelmat / peruutukset, uskot melkein varmasti, että nämä kaksi muotoa edustavat samaa numeroa .
Miksi?
Koska kun meille opetetaan murto-osia, meille opetetaan jo varhaisessa vaiheessa, että kaksi murto-osaa voi olla sama numero ja että ne ovat pienennetty muoto , jos osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä, jotka ylittäisivät 1.
Ja pidämme kiinni siitä.
Olemme siitä vakuuttuneita kokemuksen ja tämän kokemuksen toistaminen, ja voimme käyttää erilaisia muotoja sen todentamiseksi.
Ei niin paljon desimaaleilla, puhumattakaan muusta sijainnista muodot.
Numeroiden desimaaliesityksissä on siisti asia, että useimmille numeroille (tietyssä teknisessä mielessä) desimaalimuoto on todellakin ainutlaatuinen (mutta useimmissa tapauksissa – samassa mielessä – ei ole käytännöllistä kirjoittaa kaikki yksityiskohdat, sanotaanpa niin).
On kuitenkin joitain poikkeuksia. ”Muutamalla” tarkoitan sitä, että verrattuna kokonaislukumäärään, joka voidaan periaatteessa (ellei käytännössä) kirjoittaa desimaalilla.Poikkeuksena ovat järkevät luvut, ja niiden nimittäjillä (pienennetyssä muodossa) on vain 2 ja / tai 5 voimia.
Ymmärrettävä työkalu on konvergentin geometrisen sarjan ydin.
Konvergentti (ääretön) geometrinen sarja on sarja muotoa
\ displaystyle {\ qquad a + a \ kertaa r + a \ kertaa r ^ 2 + \ ldots + a \ kertaa r ^ n + \ ldots.}
Kun sarja päättyy jonkin verran rajallisen määrän termejä suurimmalla teholla N, se on melko helppo varmistaa, että sarja on summa
\ displaystyle {\ qquad S\_N = a \ sum\_ {k = 0} ^ N r ^ k = \ frac {a (1-r ^ N)} { 1-r},}
ja kysymme, mitä tarkoittaa ääretön summa. Tavanomainen määritelmä on, että termit pienenevät riittävän nopeasti, jotta kokonaisarvo lähestyy raja-arvoa, kun N muuttuu mielivaltaisesti suureksi. Tämän idean tutkiminen johtaa meidät ehtoon, joka on, että yhteisen suhteen r on oltava -1 (mutta ei molemmat) välillä -1 tai 1. Tai, | r | , vastaa -1 .
Sitten kaavasta tulee
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {a} {1-r},}
terminä r ^ N \ to0.
Muista nyt, kuinka desimaalimerkinnät määritellään: oikeastaan se on vain lomakesarjan lyhenne
\ displaystyle {\ qquad \ begin {tasaa *} & a\_ka\_ {k-1} \ ldots a\_1a\_0.b\_1b\_2 \ ldots b\_n \ ldots \\ & \ qquad = a\_k \ kertaa10 ^ k + a\_ {k-1} \ kertaa10 ^ {k-1} + \ ldots + a\_1 \ kertaa10 + a\_0 \\ & \ qquad \ qquad + \ frac {b\_1} {10} + \ frac {b\_2} {10 ^ 2} + \ ldots + \ frac {b\_n} {10 ^ n} + \ ldots, \ end {tasaa *}}
missä k on kymmenen korkein nollasta poikkeava teho, joka on pienempi kuin luku, ja a\_i, b\_j ovat desimaalilukuja (kokonaislukuja nollasta yhdeksään).
Luku 9.999 \ ldots = 9. \ dot9 on tämän muodon luku, jossa k = 0 ja a\_0 = 9 = b\_j kaikille positiivisille kokonaisluvuille j. Onneksi tämä antaa meille tarkalleen geometrisen sarjan muodon! (Huomaa, että jokainen desimaaliluku, jossa numerot poikkeavat yhdeksästä oikealle, on yläpuolella tämän tyyppisellä sarjalla.)
Voimme vain liittää asioita: ensimmäinen termi on a = 9 ja yleinen suhde on r = \ frac {1} {10} . Joten tiedämme heti, että tämä sarja lähentyy!
Saamme
\ displaystyle {\ qquad S = \ frac {9} {1- \ frac {1} {10}} = \ frac {90} {10-1} = \ frac {90} {9} = 10.}
Erittäin siisti.
On tietysti muita temppuja pystyy osoittamaan, että 9. \ dot9 = 10 (desimaalilla, joka tapauksessa …), mutta parasta (mielestäni) on ymmärtää jotain siitä, mitä merkintä tarkoittaa ja miten se toimii – ja sitten on helppo tarttua sillä tosiasialla, että edes sijaintimerkinnöissä kaikkia numeroita ei esitetä vain yhdellä tavalla.
Jos meillä on kelvollinen perusta b, kyseisessä sijaintipohjassa oleva luku muodossa 0. (b -1) (b-1) (b-1) \ ldots on aina yhtä suuri kuin 1. Täten binäärissä (esimerkiksi), jossa 0,1 = \ frac {1} {2}, meillä on 0,111 \ ldots = \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {8} + \ ldots = 1. Ääretön sarja ”menetelmä” toimii samalla tavalla tämän tuloksen todentamiseksi.