Paras vastaus
Ensinnäkin \ sqrt {x} \ stackrel {\ text {def}} {=} x ^ {\ frac12}.
Esitän nyt neliöjuurifunktion sen Taylor-sarjalla. Lasken tämän Taylor-sarjan noin 16, vain ollakseni turvassa ärsyttäviltä lähentymissäteiltä. Sitten arvioin \ sqrt {20} asettamalla x = 20 sarjaan.
Minkä tahansa minkä tahansa litiumfunktion f \ left (x \ right) Taylor-sarjan määritelmä on seuraava:
f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum\_ {n = 0} ^ {\ infty} f ^ {\ left (n \ right)} \ left (a \ right) \ frac { \ left (xa \ right) ^ n} {n!}
Tässä f ^ {\ left (n \ right)} tarkoittaa f: n n: ää johdannaista. Meidän on laskettava paljon johdannaisia, ja toivottavasti kuvio on hieman havaittavissa.
f \ vasen (x \ oikea) merkitsee tämän jälkeen \ sqrt {x}.
F: n ”nolla” -johdannainen on yksinkertaisesti f. Minulla on f \ vasen (16 \ oikea) sarjan ensimmäisen termin kertoimena. (Muista, että päätin keskittää Taylor-sarjan ympäri 16 . Neliöjuuri 16 on tarpeeksi helppoa – se on vain 4 . Neljä neljä on 16.)
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ cdots
Okei. Asiat tulevat olemaan hieman haastavia. Meidän on nyt laskettava \ sqrt {x}: n johdannainen.
Tehosääntö sanoo, että \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} x ^ n = nx ^ { n-1}. Tässä tapauksessa n = \ frac {1} {2} (kun otetaan huomioon, että \ sqrt {x} = x ^ {\ frac {1} {2}}).
Siksi \ frac {\ teksti {d}} {\ text {d} x} \ sqrt {x} = \ frac {1} {2} x ^ {- \ frac {1} {2}} = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Sarjan seuraava kerroin on siis \ frac {1} {2 \ sqrt {16}} tai yksinkertaisesti \ frac {1} {8}.
Taylor-sarjan seuraava termi on siis f ”\ left (16 \ right) \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} tai yksinkertaisesti \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!}.
Tässä on osittainen summa tähän mennessä:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right ) ^ 0} {0!} + \ Frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} {1!} + \ Cdots
Okei, nyt, meidän on laskettava toinen johdannainen f \ left (x \ right) tai yksinkertaisesti laskettava \ frac {1} {2 \ sqrt {x }}.
Tämä edellyttää ketjusäännön käyttöä, koska yksi funktio koostuu toisesta. Yksi funktio on tämän jälkeen merkittävä merkillä g \ left (x \ right) = \ frac {1} { x}, ja toinen merkitään seuraavaksi h \ left (x \ right) = 2 \ sqrt {x}. Funktio, josta haluamme löytää johdannaisen, on: f ”\ left (x \ right) = \ frac {1} {2 \ sqrt {x}}. Toisin sanoen haluamme löytää johdannaisen g \ left (h \ left (x \ right) \ right).
Ketjusääntö sanoo, että \ frac {\ text {d}} {\ teksti {d} x} g \ vasen (h \ vasen (x \ oikea) \ oikea) = g ”\ vasen (h \ vasen (x \ oikea) \ oikea) h” \ vasen (x \ oikea).
G \ left (x \ right) -johdannainen on – \ frac {1} {x ^ 2} (virtasäännön mukaan). H \ left (x \ right) derivaatti on \ frac {1} {\ sqrt {x}} (virtasäännön ja ominaisuuden mukaan, joka merkitsee \ left (cf \ left (x \ right) \ right) ” = cf ”\ left (x \ right)).
Nyt meillä on se \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {1} {2 \ sqrt { x}} = – \ frac {1} {4 \ vasen (\ sqrt {x} \ oikea) ^ 3}. Sarjan kolmas kerroin on siis – \ frac {-1} {4 \ left (\ sqrt {16} \ right) ^ 3} (tai yksinkertaisemmin – \ frac {1} {256}).
Sarjan kolmas termi on: – \ frac {1} {256} \ frac {(x-16) ^ 3} {3!}
Koko toistaiseksi käytetty summa:
f \ left (x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left ( x-16 \ oikea) ^ 1} {1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ vasen (x-16 \ oikea) ^ 2} {2!} + \ cdots
Lasken nyt f \ left (x \ right) neljännen johdannaisen.
\ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} \ frac {-1 } {4 \ left (\ sqrt {x} \ right) ^ 3} = \ frac {3} {8x ^ 2 \ sqrt {x}}
Sarjan neljäs termi on \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!}
Summassa on nyt neljä termiä:
f \ left ( x \ right) = 4 \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 0} {0!} + \ frac {1} {8} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 1} { 1!} – \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2!} + \ Frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ oikea) ^ 3} {3!} + \ cdots
Jos jatkamme tätä mallia, saadaan seuraava kerroinmalli:
\ frac {1} {0,25 }, \ frac {1} {8 }, – \ frac {1} {256}, \ frac {3} {8192}, – \ frac {15} {262144}, \ cdots
Nyt on aika löytää malli ja ilmaista sekvenssi, jolla on eksplisiittinen kaava.
N: nnen nimittäjän voi esittää b\_n = \ left (2 ^ {n + 2} \ right) \ left (16 ^ {n-1} \ right), mikä yksinkertaistaa kohtaan b\_n = 2 ^ {5n-2} (n: n alkuarvona 0). Se oli helppoa. Entä osoittajat?
Tässä on osoitinsarja (jättäen huomiotta muutoksen, josta huolehditaan myöhemmin):
1,1,1,3,15,105,945, \ cdots
…
Hmm…
…
Osoittimien malli on melko yksinkertainen. Ota 945 ja jaa se 105: llä. Saat 9. Seuraavaksi ota 105 ja jaa se 15. Saat 7. Jatkuu: 15 jaettuna 3: lla on 5, 3 jaettuna 1: llä on 3 ja 1 jaettuna 1: llä on 1. Tässä käytetään parittomien tuotteiden tuotteita.
\ vasen (n + 2 \ oikea) kolmas termi osoitinjärjestyksessä (lukuun ottamatta vuorottelua) on näin:
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ vasen (2k + 1 \ oikea)
Osoittimien kaava on pi-merkintöjen muodossa. Olisi parempi, jos se ilmaistaan jollakin tavalla tekijämerkinnällä.
Jos jaamme ensimmäisten 2n + 2 kokonaislukun tulon parillisten 2 – 2n kokonaislukujen tulolla, saadaan parittomien kokonaislukujen 1 – 2n + 1 tulo. Toisin sanoen
t\_n = \ displaystyle \ prod\_ {k = 1} ^ {n} \ left (2k + 1 \ right) = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {\ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} 2k}
Nyt voimme poistaa pi-merkinnät ja korvata ne pienemmällä, tyylikkäämmällä lausekkeella. Kuten näette, termin 2 kerrotaan itsestään n + 1 kertaa. Joten voimme vetää 2, sijoittaa sen ison pi: n eteen ja nostaa sitten 2 n + 1: n voimaksi. Tästä meille jää:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ prod\_ {k = 1} ^ {n + 1} k }
Yllä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmin seuraavasti:
t\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {n + 1} \ vasen (n + 1 \ oikea)!}
Olet ehkä jo huomannut, että suoraan yllä olevan lausekkeen antama sarja on pois käytöstä kahdella termillä. Tämän ongelman korjaamiseksi meidän on löydettävä kaikki n nimittäjäkaavasta ja lisättävä ne 2: lla. Meidän on tehtävä sama myös muiden termien kanssa x: n voimilla.
Nimittäjäkaava on vihdoin 2 ^ {5n + 8}.
Koska sarjaa siirrettiin, meidän on silti sisällytettävä ne, jotka jätettiin pois, jonnekin lausekkeeseen. On olemassa muita termejä, jotka esiintyvät ennen lausekkeen sigma-merkintää. Nämä termit ovat 4 ja \ frac {1} {8} \ vasen (x-16 \ oikea).
Sarjan jokaisen termin kerroin on:
c\_n = \ frac {\ frac {\ vasen (2n + 2 \ oikea)!} {2 ^ {n + 1} \ vasen (n + 1 \ oikea)!}} {2 ^ {5n + 8}}
joka yksinkertaistuu alaspäin:
c\_n = \ frac {\ left (2n + 2 \ right)!} {2 ^ {6n + 9} \ left (n + 1 \ right)!}
Se on sarjan n: n kertoimen kaava (tämä sulkee pois kaksi ensimmäistä termiä, koska nämä termit aiheuttaisivat virheitä t\_n-kaavassa).
Voimme nyt alkaa kirjoittaa sigma-merkinnät (muista, että siirrimme sarjaa ottamaan pois sassy-termit, joten sigma-notaation etupuolella on joitain asioita).
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left (x-16 \ right)
– \ frac {1} {256} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 2} {2 !} + \ frac {3} {8192} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ 3} {3!} – \ cdots
Se on vuorotellen sarja, joka alkaa negatiivisella, joten meidän on kerrottava termit -1: n (n + 1): n voimalla.
f \ left (x \ right) = 4 + \ frac {1} {8} \ left ( x-16 \ oikea) + \ displaystyle \ summa\_ {n = 0} ^ {\ sisään fty} \ frac {\ vasen (-1 \ oikea) ^ {n + 1} \ vasen (2n + 2 \ oikea)!} {2 ^ {6n + 9} \ vasen (n + 1 \ oikea)!} \ frac {\ vasen (x-16 \ oikea) ^ {n + 2}} {\ vasen (n + 2 \ oikea)!}
Siivottu:
f \ vasen (x \ right) = \ sqrt {x} = 2 + \ frac {x} {8} + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (x-16 \ right) ^ {n + 1} \ vasen (-1 \ oikea) ^ n \ vasen (2n \ oikea)!} {2 ^ {6n + 3} n! \ vasen (n + 1 \ oikea)!}
HA!
Meillä on nyt Taylor-sarja tälle ns. neliöjuurifunktiolle, joka ei todellakaan ole asia laskimissa. Nyt jäljellä on vain arvioida kahdenkymmenen neliöjuuri juuri keksimämme taylor-sarjan avulla.
f \ left (20 \ right) = 2 + \ frac {20} {8 } + \ displaystyle \ summa\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ vasen (20-16 \ oikea) ^ {n + 1} \ vasen (-1 \ oikea) ^ n \ vasen (2n \ oikea )!} {2 ^ {6n + 3} n! \ Vasen (n + 1 \ oikea)!}
Yksinkertaistettu:
f \ vasen (20 \ oikea) = \ sqrt {20} = 4.5 + \ displaystyle \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left (-1 \ right) ^ n \ left (2n \ right)!} {2 ^ {4n + 1 } \ vasen (n + 1 \ oikea) \ vasen (n! \ oikea) ^ 2}
Kirjoitin yllä olevan lausekkeen Desmosiin ja korvasin \ infty arvolla 15. Desmos arvioi summan. Joten kahdenkymmenen neliöjuuri on noin 4.472135955.
Menin syvällisesti tähän vastaukseen, koska se olisi muuten tarpeeksi tylsää.
Jokaisella, joka voi käyttää Internetiä, on pääsy jopa useimmat tieteelliset laskimet. Neliöjuuri-toiminto on aina käytettävissäsi 24/7/365. Tämän ansiosta tarkistan vastaukseni.
4.472135955 \ stackrel {?} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
4.472135955 \ stackrel {\ checkmark} {=} 4.472135955 \ approx \ sqrt {20}
Kiitos lukemisesta.
Vastaa
No, kokeillaanko ilman laskinta .
Etsi luku, jonka neliö on vain alle 20, se on 4.
Etsi numero, jonka neliö on hieman yli 20 , se on 5.
Joten, 4 qrt (20)
Laske kerran, mikä on tunnistettu, laskea näiden kahden luvun keskiarvo, joka on 4,5
AM ≥ GM ja GM = √4 * 5 = √20.
Siksi meillä on √20 ,5
Joten 4 qrt (20) ,5
Laske 4,5 neliö… 4 * 5 + .25 = 20.25…
Sen korkeus on vain vähän…
Joten vastauksen tulisi olla 4,5, mutta ei lähellä 4 .
Yritetään nyt löytää se oikeammin
Ota f (x) = sqrt (x)
f ”(x) = o.5 / sqrt (x)
Nyt, f (20.25) = 4.5, f (20) =?
Ota ∆x = -0.25
f (x + ∆x) = f (x) + ∆x * f ”(x)
(Taylorin sarja katkaistu ensimmäiseen järjestykseen tai voit soittaa Newtonille Raphson-menetelmä)
Nyt korvaamalla x ja ∆x, meillä on,
f (20) = 4,5 -0,25 * 0,5 (1 / 4,5)
= 4,5 – (1/4) (1/9) = 4,5 – .1111 / 4
= 4,5 -10 ^ (- 4) [(1000 + 100 + 10 + 1) / 4]
= 4.5 – 10 ^ – (4) [250 + 25 + 2.5 + 0.25]
= 4.5 -0.027775
= 4.472225
Siksi sqrt (20) ~ 4.472225
Ja Google tarjosi vastauksen.
Joten vastauksemme ei ole niin huono !!