Paras vastaus
On kirjoitettu monia hyviä vastauksia, joiden avulla voit visualisoida tämän kysymyksen merkityksen saavuttaaksesi intuitiivisesti Vastaus 3. Ja mikään, mitä kirjoitan tähän, ei ole tarkoitettu poistamaan mitään näiden vastausten arvosta. He auttavat uusia opiskelijoita ajattelemaan matematiikan ja mallinnuksen välistä yhteyttä konkreettisella tavalla, ja se on VALTAVA taito.
Tämän sanottuaan matematiikka ei ole mallintamista. Joten vaihtoehtoinen tapa ajatella tätä ongelmaa on puhtaasti matemaattisesta näkökulmasta. Ja jos kehität tätä taitoa, yrität pystyä käsittelemään abstraktimpia matematiikkatyyppejä, jotka usein päättävät matemaattisen uran opiskelijoille, jotka luottavat yksinomaan mallikeskeisempään, intuitiivisempaan lähestymistapaan.
Kysyit ”Mikä on 3/4 jaettuna 1/4: llä?”
Käytit kysymyksesi keskellä termiä ”jaettu”. Matemaatikolle tämä on vihje etsimään välittömästi jaon MÄÄRITELMÄ. Määritelmät ovat tiiliä, jolle matematiikka on rakennettu.
Jakamisen määritelmä (tässä yhteydessä) on:
Annetaan kaksi lukua, a ja b (b = 0: n kanssa), jaettu b: llä on c, jos c kertaa b on a.
Joten nyt tiedän, mitä ”jaettu” tarkoittaa. Voimmeko soveltaa tätä määritelmää ongelmasi? No, kysyt noin 3/4 jaettuna 1/4: llä. Näyttää siltä, että sinulla on kaksi numeroa (joista toinen ei ole nolla), ja haluat tietää tuloksen ensimmäiseksi jaettuna toisella. Vaikuttaa siltä, että tämä määritelmä on TÄYSIN mitä tarvitset.
Joten nyt peli alkaa. Vastaus ongelmaan on mikä tahansa luku c, joka \ frac 14 \ kertaa c = \ frac 34.
Tässä on hyvä uutinen. Tiedämme nyt, kuinka tarkistaa, onko jokin vastaus oikea vai ei. Kerrotaan vain 1/4 ehdokkaan vastauksella ja jos tulos on 3/4, ehdokkaan vastaus on oikea.
Huono uutinen on, että jos ehdokkaan vastaus EI OLE oikea, emme ole lähempänä löytää oikea vastaus. Toisin sanoen määritelmä ei auta meitä löytämään oikean vastauksen. Se auttaa meitä vain tarkistamaan, onko ehdokkaan vastaus oikea.
Joten mitä voimme tehdä? Kokeilut ja virheet ikuisesti näyttävät huonolta ajatukselta. Näyttää siltä, että nyt on aika keksiä sääntö, joka antaa meille aina oikean vastauksen.
Ehdotan tätä sääntöä. Kun annetaan kaksi numeroa a ja b \ ne 0, jaettuna b: llä on aina oltava yhtä suuri kuin b: n vastavuoroinen (usein merkitty \ frac 1b).
Ennen kuin voimme käyttää tätä sääntöä, tietysti meidän on varmistettava, että se toimii aina. Sitä me kutsumme todistukseksi. Todiste on tässä helppoa, koska sääntö antaa minulle ehdokasratkaisun ja määritelmä kertoo tarkalleen, miten ehdokasratkaisu tarkistetaan.
Onko totta, että a \ kertaa \ frac 1b = a jaettuna b: llä? No määritelmä sanoo, että vastaus on c, jos c kertaa b on a. Joten voimme kertoa ehdokkaamme, a \ kertaa \ frac 1b b: llä saadaksesi a? Koska kertolasku on kommutatiivista, voimme selvästi. Ja sääntö on todistettu. (Todistimme juuri ensimmäisen lauseemme jakamisesta. Jos määritelmät ovat matematiikan tiilissä, lauseet ja todisteet ovat laasti, joka pitää ne yhdessä ja antaa niiden käyttää hyvien rakenteiden rakentamiseen.)
Joten se näyttää siltä, että vastaus ongelmasi on, että 3/4: n jaettuna 1/4: lla on oltava yhtä suuri kuin tulon 3/4 ja vastavuoroisen 1/4 tulo. Loistava! Eikö?
No, olemme nyt muuttaneet jako-ongelmamme kahteen ongelmaan. Yksi on kertolasku. Toinen on ”Kuinka löydän 1/4: n vastavuoroisuuden?”
Oletan, että osaat kertoa numeroita, joten oikeastaan meillä on vain yksi kysymys vastavuorojen löytämisestä. Todellakin, tämä on vain yksi jako-ongelma. Todellakin, nyt pyydän sinua löytämään 1 jaettuna 1/4: llä. Se ei tunnu aluksi voitolta, koska olen palannut jakamiseen. Mutta väitän, että se on voitto, koska jouduttiin selvittämään, kuinka jaetaan KAIKKI a a: lla b: llä, nyt meidän on vain löydettävä 1 jaettuna b: llä mistä tahansa nollasta poikkeavasta b: stä. Hyvä uutinen on, että on helppo oppia arvaamaan oikea vastavuoroisuus. Ja kun arvaat sen, voit tarkistaa sen, koska juuri tämä määritelmä kertoo sinulle, miten tehdä.
1/4: n vastavuoro on 4. Voimme varmistaa, että koska vastavuoroinen tarkoittaa 1 jaettuna 1: llä / 4, ja määritelmän mukaan 4 on vastaus niin kauan kuin 4 kerrottuna 1/4: llä antaa 1. Ja todellakin se on totta.
Lopuksi olemme oppineet, että 3/4 jaettuna 1: llä / 4 on yhtä suuri kuin 3/4 kertaa 4. Ja koska osaan kertoa (esimerkiksi lisäämällä yhteen 4 kopiota numerosta 3/4), päätän, että vastaus on 3. Ja jos olen todella varovainen, palaa takaisin ja tarkista tulos määritelmän avulla vain varmistaaksesi, etten tehnyt virheitä. Joten 1/4 kerrotaan 3: lla yhtä kuin 3/4? Itse asiassa se on, joten 3 on nyt vahvistettu olevan oikea ratkaisu.
Nyt vastaus näyttää TODELLA pitkältä ja monimutkaiselta – etenkin matematiikan uudelle tulijalle. Ymmärrän tuon.Saat todellakin vastauksen paljon nopeammin laskimen tai Googlen avulla tai käyttämällä joitain (sinulle todistamattomia) tekniikoita, jotka useimmat meistä oppivat koulun alkuvaiheessa. Mutta se ei ole ollenkaan asia.
Se, mitä todella opimme, ei ole vastaus tähän ongelmaan. Todellakin opimme, että KAIKKIEN numeroiden jakaminen vaatii meitä osaamaan tehdä kaksi asiaa. Ensinnäkin meidän on tiedettävä, kuinka jakaa YKSI millä tahansa (ei-nollalla) luvulla saada vastavuoroinen. Ja toiseksi meidän on osattava kertoa mikä tahansa kaksi lukua. Ja tuo totuus on paljon mielenkiintoisempi ja syvällisempi kuin tietää vastaus tähän kysymykseen. Anteeksi liikakäytetty metafora, mutta se opettaa ihmistä kalastamaan pikemminkin kuin antamaan hänelle kalaa.
Ja todellinen voima on se, että se jakaa jaon kontekstiin, jonka avulla se voidaan yleistää. Ja yleistykset kahden luvun jakamisesta johtavat tärkeisiin ajatuksiin. Ja matematiikka on oikeastaan kyse!
Vastaus
Michael Lamar selittää vastauksessaan hyvin, miksi jaon abstraktin käsitteen ymmärtäminen on matemaattisesti tärkeämpää kuin erityinen vastaus \ frac34 \ div \ frac14, joten sukelan suoraan yleistykseen:
Mikä on \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q}?
a Kentässä jokaisella nollasta poikkeavalla elementillä a on yksilöllinen moninkertainen käänteinen a ”siten, että
\ quad a \ kertaa a = =” \ kertaa a = 1 kerrannaisidentiteetti.
Jako on määritelty kertolasku:
\ quad b \ div a \ equiv b \ kertaa a ”
Murtoluvun kerrottava käänteinen arvo saadaan kääntämällä murtoluku, koska:
\ quad \ frac {p} {q} \ kertaa \ frac {q} {p} = \ frac {p \ kertaa q} {q \ kertaa p} = 1 siis \ vasen (\ frac {p} {q} \ oikea) ”= \ frac {q} {p} (paitsi p = 0).
Siksi jakautumme antaa:
\ quad \ frac {n} {m} \ div \ frac {p} {q} = \ frac {n} {m} \ kertaa \ frac {q} {p} = \ frac {n \ aika s q} {m \ kertaa p}
Aloittavalle matemaatikolle tämä vastaa kysymykseen ainakin kentän yhteydessä. Todellinen (puhdas) matemaatikko haluaa sitten nähdä, kuinka he voivat yleistää edelleen.
Toiset ovat kiinnostuneempia saamaan tarkan vastauksen alkuperäiseen kysymykseen instantisoimalla n = 3, m = 4, p = 1, q = 4 saadaksesi:
\ quad \ displaystyle \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac {3 \ kertaa4} {4 \ kertaa1} = \ frac {12} {4}
Eikä silti ole melko 3, mutta pääset sinne hieman enemmän abstraktiota: harjoituksen jätän kiinnostuneelle lukijalle.
Muuten, tälle orastavalle matemaatikolle haluat ehkä tarkistaa, että äärellisessä kentässä \ mathbb F\_5 meillä on:
\ quad \ frac34 \ div \ frac14 = \ frac12, koska \ frac34 \ equiv2, \ frac14 \ equiv4 ja \ frac12 \ equiv3