Paras vastaus
Rationaaliluvut ovat suhteellisen suoraviivaisia. Ne ovat järjestetty kokonaisluku (m, n), joiden n \ neq0 on ekvivalenttisuhteen alla:
\ quad (a, b) \ equiv (c, d) \ Lefrightarrow ad = bc
Mitä? Sen piti olla suoraviivaista? No kyllä. Kaikki tämä ekvivalenssikirja oli vain varmistaa, että puolet oli puolet riippumatta siitä, oliko se (1,2) tai (2,4) vai jopa (-33, -66). Ja kaikki tuntuisi tutummalta, jos kirjoitan sen nimellä \ frac12 = \ frac24 eikä (1,2) \ equiv (2,4), koska 1 \ kertaa4 = 2 \ kertaa2. Mutta tarkasti ottaen siitä alkaa rationaalilukujen tarkka määrittely.
Nyt kun helpot asiat on käsitelty, mikä on reaaliluku? Nimestään ja läsnäolostaan huolimatta reaaliluvut ovat melko monimutkaiset petot. Ehkä yksinkertaisin rakenne, joka yhdistää intuitiomme, on Dedekind-leikkaukset . Rationaalilukujen Dedekind-leikkaus \ Q on osio kahteen ei-tyhjät sarjat (A, B) siten, että A \ cup B = \ Q, A: n jokainen elementti on ehdottomasti pienempi kuin B: n jokainen elementti, eikä A: lla ole suurinta elementtiä. Tiedän, että pääsi pyörii jo, mutta idea on hyvin yksinkertainen: leikkaamme vain numeroriviä jossain vaiheessa – kaikki vasemmalla olevat perustelut ovat A: ssa ja kaikki perustelut oikealla (tai Jos B: llä on vähiten elementtiä, leikkauksemme oli rationaaliluvulla. Jos B: llä ei ole vähintäkään elementtiä, leikkauksemme oli Irrationaalinen numero. Seuraavat edustavat s Dedekind-leikkaus kahden neliöjuurelle (irrationaaliluku):
(Lähde: Tiedosto: Dedekind-leikkaus – neliöjuuri kahdesta.png – Wikipedia )
Kummassakin tapauksessa leikkaus (A, B) edustaa reaalilukua. Koska B = \ Q \ setminus A, voimme edustaa reaalilukua itse A: ei-tyhjä Rationaalilukujen joukko, joka on suljettu alapuolella ja jolla ei ole suurinta elementtiä. Jossakin mielessä irrationaaliset reaaliluvut täyttävät ”aukot” rationaaliluvuissa.
Yksi ongelma tässä ”aukkojen” intuitiossa on, että rationaaliluvut ovat tiheitä osuuksissa – kahden erillisen reaaliluvun välillä. on olemassa rationaalinen (itse asiassa äärettömän monta rationaalista). Tämä saattaa saada sinut ajattelemaan, että rationaalilukuja on ainakin yhtä monta kuin irrationaalilukuja. Mutta ei, irrationaalisten numeroiden joukon kardinaalisuus on ehdottomasti suurempi kuin rationaalilukujen joukon. Jotenkin reaalilukujen ”A” rationaalilukujen lopussa on joukko muita reaalilukuja, joita en voi kuvata suhteessa joukkoon A. Kuten sanoin, reaaliluvut ovat monimutkaisia petoja: useimmat heitä ei edes voida kuvata oletetusta ”todellisuudesta” huolimatta.
Olen vihjan perustavanlaatuiselle erolle rationaalilukujen ja todellisen välillä numerot, joiden ymmärtäminen vaatii todellakin matematiikan tutkinnon, mutta toivon, että sinulla on ainakin maku erosta, ellei täysin arvosta hienovaraisuuksia.
Vastaa
Reaaliluvut ovat rationaalilukujen välisiä lukuja . Mitä tuo lause todella tarkoittaa?
Harkitse neliöjuuria 2. Voidaan osoittaa, että se ei ole järkevä. Mutta voimme selvittää, mikä on sen arvo, missä määrin tahansa tarkkuudella, tunnistamalla kaikki sen alapuolella olevat ja kaikki sitä korkeammat järkevät. Se on kahden rationaaliluvun välissä.
Tämä pätee mihin tahansa reaalilukuun – paitsi jos se on myös järkevä. Millä tahansa reaaliluvulla on joukko rationaalilukuja, jotka ovat kaikki pienempiä tai yhtä suuria, ja toinen rationaaliryhmä, jotka ovat kaikki suurempia tai yhtä suuria, ja jokainen rationaalinen on jommassakummassa näistä kahdesta joukosta . Tällainen rationaalien osio on avain reaalilukujen rakentamiseen rationaalista Dedekind-leikkausten avulla.
Harkitse kahta rationaalilukujoukkoa, L (alempi) ja H (suurempi), niin että jokainen luku H: ssä on suurempi kuin jokainen L: n luku, ja kaksi joukkoa sisältävät kaikki rationaaliluvut. Tiedämme, että sellaiset joukot L ja H ovat olemassa jokaiselle reaaliluvulle, jotka voimme laskea algebrallisesti, mutta ne eivät ole ainoat tällaiset joukot.
Yleensä L: llä voi olla suurin luku, Lmax tai H saattaa olla pienin luku Hmin. Tällöin Lmax tai Hmin olisi L: n yläraja ja H: n alaraja, ja se olisi järkevää. Jos Lmaxia tai Hminiä ei ole olemassa – ja tiedämme, ettei niitä ole, jos luomme joukot tunnetusta irrationaalisesta luvusta – määritämme L: n ylärajan (joka on myös H: n alaraja) reaalilukuna.
Itse asiassa joka kerta, kun arvioimme irrationaaliluvun desimaalimurtoluvulla, luomme tällaisen osion. Jos esimerkiksi sanomme, että irrationaaliluku on 1,2345…, sanomme, että se on suurempi kuin 1,2345, mutta alle 1.2346, ja kun kirjoitamme enemmän numeroita desimaalilaajennukseen, lisäämme joukkoihin enemmän numeroita, jotka ovat suurempia ja pienempiä.
Näiden desimaalilaajennusten avulla voidaan johtaa tärkeä ero rationaalilukujen ja reaaliluvut. Rationaaliluvut ovat laskettavissa ; eli ne voidaan sijoittaa yksi-yhteen-vastaavuuteen kokonaislukujen kanssa. Todellisia lukuja ei voida laskea.
Mitä eroa on reaalilukuilla ja rationaalilukuilla?