Paras vastaus
Tämä on hyvä aika osoittaa matematiikan toiminta ottamalla intuitiivinen mutta epämääräinen käsite ja tekemällä siitä tarkasti fiksuilla määritelmillä.
Mitä meidän pitäisi tarkoittaa päinvastoin? No, järkevä asia tarkoittaa, että kun suoritamme jonkin toiminnon \ vee (kutsu sitä millä tahansa haluat, banaani on hieno nimi esimerkiksi) x: llä ja sen vastakohta x ^ *, tuloksen tulisi olla jokin banaanineutraali elementti n. Toisin sanoen x: n ja ”anti-x”: n tulisi kumota toisistaan niin, että x \ vee x ^ * = n. Huomaa, että tällä hetkellä emme tiedä lainkaan muista banaaneista kuin näistä muodollisista ominaisuuksista. N: n neutraalin käsitteen pitäisi tässä mielessä tarkoittaa sitä, että minkä tahansa y: n kohdalla meillä pitäisi olla y \ vee n = y, eli n ei vaikuta y: hen, kun banaania käytetään molempiin.
Tämä vastakkaisuuden käsite on matematiikassa perustavanlaatuinen, ja x ^ *: n yleisempi nimi on käänteinen x -koodista operaation \ vee suhteen.
Kun \ vee on tavallinen numeroiden summa + +, x ^ * on merkitty -x, koska x + (- x) = 0. on neutraali elementti. Todellakin kaikilla y, y + 0 = y. Joten tässä tapauksessa 0: n vastakohta on -0, mikä on 0 itse!
Kun \ vee on kertolasku, neutraali elementti on 1 (miksi?). Silloin 0: lla ei ole päinvastaista, koska yksikään lukukerran nolla ei ole yksi. On tilanteita, joissa matemaatikot keksivät multiplikatiivisen vastakohdan nollalle, ja he kutsuvat sitä yleensä \ infty, mikä on järkevää.
Vastaus
Tästä on aiemmin keskusteltu matemaattisessa yhteisössä, kunnes Donald Knuth suoristi asiat vuonna 1992, joten on ymmärrettävää, että jotkut hämmennykset viipyvät, mutta nykyaikaisen käytännön on määritellä 0 ^ 0 = 1, hyvästä syystä. tarkoittaa? Ehkä sinulle on opetettu, että nolla-voima lasketaan jakamalla n: s voima n: llä voimalla (n> 0); se ei auta 0 ^ 0: n tapauksessa ja saa jotkut ihmiset liittämään 0 ^ 0 määrittelemättömään osamäärään \ tfrac {0 ^ n} {0 ^ n} = \ tfrac00. Nämä ihmiset eivät ole ymmärtäneet, että 0 ^ 2 on täysin määritelty, eikä niitä voida liittää määrittelemättömään osamäärään \ tfrac {0 ^ {n + 2}} {0 ^ n} = \ tfrac00 – emme voi todistaa mitä tahansa ottamalla käyttöön nollan jakaminen siellä, missä sitä ei ollut aiemmin ollut.
Mutta meidän ei tarvitse vedota jakamiseen ollenkaan:
- 1 \ cdot 0 ^ 3 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 2 = 1 \ cdot 0 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 1 = 1 \ cdot 0 = 0,
- 1 \ cdot 0 ^ 0 = 1 = 1.
Jos otan kaikki omenasi pois n kertaa (n> 0) , sinulla ei ole omenoita jäljellä; mutta jos otan kaikki omenasi pois 0 kertaa, sinulla on vielä kaikki omenasi. Lyhyemmin sanottuna 0 ^ 0 = 1 on tyhjän tuotteen tapaus, aivan kuten 0! = 1.
Miksi tämän hyväksyminen kesti niin kauan? Ilmeinen ongelma on, että rajoittava muoto 0 ^ 0 on määrittelemätön muoto siinä mielessä, että \ textstyle \ lim\_ {x \ a} f (x) = \ lim\_ {x \ a} g (x) = 0 ei anna sinulle tietoja * rajasta \ textstyle \ lim\_ {x \ a} f (x) ^ {g (x)}: se voi olla mikä tahansa ei-negatiivinen reaaliluku, \ infty tai sitä ei ehkä ole olemassa, riippuen tietyistä toiminnoista. Tämä näytti olevan ristiriidassa yllä olevan yksinkertaisen intuition kanssa yli vuosisadan ajan. Mutta tärkeä oivallus on, että määrittelemätön rajoittava muoto 0 ^ 0 ei estä meitä määrittelemästä määritelmää arvoon 0 ^ 0 . Ne eivät ole sama objekti: rajoittava muoto 0 ^ 0 on vain lyhenne edellä mainitusta rajasta, ja sen määrittelemättömyys tarkoittaa vain sitä, että eksponentio ei voi olla jatkuva funktio missä tahansa kohteen (0, 0) naapurustossa.
Tämän ei pitäisi olla liian yllättävää: esimerkiksi \ lfloor 0 \ rfloor on myös määrittelemätön muoto (\ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x \ rflooria ei ole olemassa, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor x ^ 2 \ rfloor = 0, \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0} \ lfloor -x ^ 2 \ rfloor = -1 ), silti kirjoitamme edelleen arvoksi \ lfloor 0 \ rfloor = 0.
Ja siis annamme nyt arvoksi 0 ^ 0 hyödyllisen arvon, joka on 1. Miksi se on hyödyllistä? Koska se antaa meille manipuloida eksponentteja lisäämättä erikoistapauksia .
- Jos \ textstyle p (x) = \ sum\_ {n = 0} ^ d a\_nx ^ n on polynomi , sitten p (0) = a\_0 on sen vakiotermi – mutta emme voi edes kirjoittaa polynomia tällä ilmeisellä tavalla, ellei 0 ^ 0 = 1. Sama pätee loputtomiin tehosarjoihin, joissa d korvataan \ infty.
- Äärettömän geometrisen sarjan arviointi : \ begin {split} \ textstyle (1 – x) \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – x \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0 } ^ \ infty x ^ n – \ summa\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ {n + 1} \\ & = \ tekstityyli \ summa\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n – \ summa\_ {n = 1} ^ \ infty x ^ n \\ & = \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ 0 x ^ n = 1, \ end {split} so \ textstyle \ sum\_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = \ frac {1} {1 – x}. on täysin kelvollinen (ja jopa jatkuva) kohteelle | x | , mukaan lukien kohdassa x = 0, mutta vaatii 0 ^ 0 = 1.
- binomilause (a + b) ^ n = \ textstyle \ sum\_ {k = 0} ^ n \ tbinom nk a ^ {nk} b ^ k pätee myös silloin, kun a = 0 tai b = 0, mutta vaatii 0 ^ 0 = 1.
- tehosääntö \ tfrac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n – 1} (n \ ne 0) pätee jopa n = 1: n kohdalla x = 0, mutta vaatii 0 ^ 0 = 1.
- Jack Huizengan vastaus antaa toisen esimerkin: toimintojen lukumäärä f \ kaksoispiste S \ to T on \ lvert T \ rvert ^ {\ lvert S \ rvert}, mutta vain, jos 0 ^ 0 = 1.
- Kohdassa Kirkon numeron luonnollinen koodaus, eksponentio on vain funktiosovellus ja 0 ^ 0 = (\ lambda f. \ lambda x. x) (\ lambda f. \ lambda x. x) = (\ lambda x. x) = 1.
* Tapa, jossa 0 ^ 0 on määrittelemätön muoto, on heikompi kuin muilla määrittelemättömillä muodoilla. Monimutkaisille analyyttisille funktioille f, g \ textstyle \ lim\_ {x \ – a} f (x) = \ lim\_ {x \ – a} g (x) ) = 0, meillä on aina \ textstyle \ lim\_ {x \ a} f (x) ^ {g (x)} = 1, ellei f ole identtisesti nolla (jolloin rajaa ei ole olemassa).
Donald Knuth antaa pohjimmiltaan saman vastauksen kohdassa ” Kaksi muistiinpanoa muistiinpanosta (1992, s. 6) sekä historiallinen tausta:
[Librin] paperi [33] kuitenkin tuotti useita aaltoiluja matemaattisilla vesillä, kun se alun perin ilmestyi, koska se herätti kiistaa siitä, onko 0 ^ 0 määritelty. Useimmat matemaatikot olivat yhtä mieltä siitä, että 0 ^ 0 = 1, mutta Cauchy [5, sivu 70] oli listannut 0 ^ 0 yhdessä muiden lausekkeiden kuten 0/0 ja \ infty – \ infty kanssa määrittelemättömien muotojen taulukkoon. Librin perustelut yhtälölle 0 ^ 0 = 1 eivät olleet kaukana vakuuttavista, ja nimensä yksinkertaisesti ”S” allekirjoittanut kommentaattori nousi hyökkäykseen [45]. August Möbius [36] puolusti Libria esittämällä entisen professorinsa syyn uskoa, että 0 ^ 0 = 1 (pohjimmiltaan todiste siitä, että \ textstyle \ lim\_ {x \ – 0 ^ +} x ^ x = 1). Möbius meni myös pidemmälle ja esitti oletetun todisteen siitä, että \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f (x) ^ {g (x)} = 1 aina \ textstyle \ lim\_ {x \ to 0 ^ +} f ( x) = \ lim\_ {x \ – 0 ^ +} g (x) = 0. Tietysti ”S” kysyi sitten [3], tiesikö Möbius sellaisista funktioista kuin f (x) = e ^ {- 1 / x} ja g (x) = x. (Ja paperi [36] jätettiin hiljalleen pois historiallisista tiedoista, kun Möbiuksen kerätyt teokset lopulta julkaistiin.) Keskustelu pysähtyi siinä ilmeisesti johtopäätöksellä, että 0 ^ 0 olisi määriteltävä.
Mutta ei , ei, kymmenentuhatta kertaa ei! Kuka tahansa, joka haluaa binomilauseen \ displaystyle (x + y) ^ n = \ sum\_ {k = 0} ^ n \ binom nk x ^ ky ^ {n – k} pitävän ainakin yhden ei-negatiivisen kokonaisluvun n täytyy uskoa, että 0 ^ 0 = 1, sillä voimme liittää x = 0 ja y = 1 saadaksemme 1 vasemmalle ja 0 ^ 0 oikealle.
Kartoitusten määrä tyhjästä joukosta tyhjään sarjaan on 0 ^ 0. Sen on oltava 1.
Toisaalta Cauchyllä oli hyvä syy pitää 0 ^ 0 määrittelemättömänä rajoittava muoto , siinä mielessä, että f (x) ^ {g (x)}: n raja-arvoa ei tunneta a priori kun f (x) ja g (x) lähestyvät 0 riippumatta. Tässä paljon vahvemmassa mielessä arvon 0 ^ 0 arvo on vähemmän määritelty kuin esimerkiksi arvon 0 + 0. Sekä Cauchy että Libri olivat oikeassa, mutta Libri ja hänen puolustajansa eivät ymmärtäneet, miksi totuus oli heidän puolellaan. p>