Paras vastaus
Termillä ”pistejoukko” ei ole tietojeni mukaan vakio matemaattista määritelmää. Ilmaus ”Olkoon X pistejoukko” on merkityksetön. ”Pistejoukon topologiassa” ilmaus ”pistejoukko” on adjektiivi, joka muuttaa ”topologiaa”, toisin kuin ”algebrallinen topologia” tai ”differentiaalinen topologia”.
- Pisteytetty topologia tutkii mahdollisesti patologisia topologisia tiloja olennaisilta osiltaan teoreettisesta näkökulmasta.
- Algebrallinen topologia käyttää homologista algebraa sopivan mukavien jatkuvien tilojen analysointiin.
- Differential topologia käyttää laskelmia sileiden tilojen tutkimiseen.
Topologian ”point-set” -muuttuja tarkoittaa siten, että työskentelet mahdollisesti kontekstissa, jossa välilyönnisi ovat ei voida tutkia jatkuvilla tai erilaistuvilla menetelmillä.
Vastaus
Rivin voidaan ajatella koostuvan seuraavista: kohtia, mutta en ole varma, onko se paras tapa ajatella sitä. Ja olen melko varma, että sinun tulisi välttää sanomasta, että viiva on ”muodostettu” pisteistä, koska kumpikaan ei ole perustavanlaatuisempi kuin toinen.
Aksiomaattisessa geometriassa viivat ja pisteet ovat erillisiä perusyksiköitä. Kaksi viivaa leikkaa yhdessä pisteessä, ja jokaisella viivalla on tiukka erillisten pisteiden järjestys. Mielenkiintoinen piirre projektiivisessa geometriassa on pisteiden ja viivojen välinen symmetria: niiden välillä on muodollinen kaksinaisuus . Lausunto kahdesta pisteessä kohtaavasta linjasta on muodollisesti samanlainen kuin sen kaksoisviiva – kaksi pistettä määrittelee linjan. Kaksoisnäkymässä piste ”koostuu” viivoista.
Mitä tulee viivan pisteiden kardinaaliin: tämä riippuu sallituista rakenteista. Perinteisellä ”merkitsemättömällä viivaimella ja kompassilla” on vain laskettavissa oleva pisteiden määrä, jonka voimme saavuttaa viivalla. Sallimalla pisteiden sekvenssirajat yleensä voimme saavuttaa minkä tahansa pisteen reaalilukurivillä, jolla on laskematon jatkumo. Mutta ei ole mitään erityistä syytä pysähtyä siihen: voimme rakentaa esimerkiksi surrealistisen numerolinjan, jossa erilliset pisteet voivat olla äärettömän lähellä ja niitä on epätavallisen paljon (lukemattomien lisäksi!).