Paras vastaus
Sano, 2 ^ 32 + 1 on jaollinen m: llä.
Joten, 2 ^ 32 = -1 (mod m)
(2 ^ 32) ^ 3 = (- 1) ^ 3 ( mod m)
2 ^ 96 = -1 (mod m)
2 ^ 96 + 1 = 0 (mod m)
Joten oikea vastaus on 2 ^ 96 + 1
Vastaa
Et. Katso esimerkiksi, mitä tapahtuu, kun x = 12. Saat x ^ 2 = 144 = 24 \ cdot 6, mutta x ei ole jaollinen 24: llä.
Voisin pysähtyä tähän, mutta se ei olisi opettavaista , paitsi sanoa, että olet väärässä. Se ei ole erityisen hyödyllistä.
Loppujen lopuksi voin todistaa, että jos k | x ^ 2 (lue, kun ”k jakaa x ^ 2), sitten k | x monille k, mukaan lukien 21, 22, 23, 26, 29 ja 30, mutta ei 20, 24, 25, 27 tai 28. Mitä eroa on? Sieltä asiat tulevat mielenkiintoisiksi ja opettaviksi.
Mitä tiedämme x: stä? Aritmeettisen peruslauseen avulla tiedämme, että x voidaan edustaa ainutlaatuisesti alkulukujen tulona, x = 2 ^ {a\_2} 3 ^ {a\_3} 5 ^ {a\_5} \ cdots. Mikä tahansa (tai kaikki x = 1) näistä a\_p-arvoista voi olla 0, ja itse asiassa vain rajallinen määrä niistä ei ole nolla.
Tämä tarkoittaa, että x ^ 2 = 2 ^ { 2a\_2} 3 ^ {2a\_3} 5 ^ {2a\_5} \ cdots. Kaikki eksponentit ovat nyt tasaisia.
Mitä tiedämme k: sta? Saman lauseen perusteella tiedämme, että k = 2 ^ {k\_2} 3 ^ {k\_3} 5 ^ {k\_5} \ cdots.
Kuinka tämä liittyy jakettavuuteen? Jos k | x ^ 2, se tarkoittaa, että k\_2 \ leq 2a\_2, k\_3 \ leq 2a\_3, \ dots, k\_p \ leq 2a\_p, \ dots. Jos k | x, se tarkoittaa, että k\_2 \ leq a\_2, k\_3 \ leq a\_3, \ pisteet, k\_p \ leq a\_p.
Joten kaikki mitä meidän on todella tehtävä osoittaaksemme, onko x ^ 2 jaettavissa k: lla, niin x on jaollinen k: lla, osoittaa, että jos k\_p \ leq 2a\_p, niin k\_p \ leq a\_p. Koska k\_p, a\_p voi olla mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku, voimme tarkastella yksinkertaisempaa ongelmaa: missä olosuhteissa b \ leq 2c tarkoittaa b \ leq c: tä?
Yritämme periaatteessa löytää arvoja b: stä, jossa lauseke c \ leq 2c ei päde mihinkään c: hen. Koska c ei ole, niin b = 0 toimii. Jos b = 1, meidän on pakko olla c = 0 , joten 1 \ not \ leq 2c = 0, joten b = 1 toimii.
Mutta jos b> 1, se ei työ. Voit aina valita c = b-1
Tämän palauttamiseksi ongelmallemme se tarkoittaa, että voimme sanoa k | x ^ 2 \ tarkoittaa k |: ta x vain, kun k: n alkioiden eksponentit ovat joko 0 tai 1. Näitä k: n arvoja kutsutaan ”neliömäisiksi”, koska et voi jakaa niitä neliönumerolla.
Joten voit näyttää k | x ^ 2 \ tarkoittaa k |: ta x jos k on neliömätön.
Edellä tarkastelluille numeroille 20 on jaollinen neliöllä 4, 24 on jaollinen neliöllä 4, 25 on neliö, 27 jaetaan neliöllä 9 , 28 on jaollinen neliöllä 4. Muut numerot, 21, 22, 23, 26, 29, 30, ovat kaikki neliömäisiä, ja voit tarkistaa ne haluamallasi tavalla.