Paras vastaus
Kyllä.
Se sijaitsee kolmion ulkopuolella.
H on \ Delta ABC: n ortokeskus.
Huomaa myös, että \ bar {AH} \ bot \ bar {BC}; \ bar {BH} \ bot \ bar {CA}; \ bar {CH} \ bot \ bar {AB}
Vastaa
Kuinka löydät kolmion ulkopuolella sijaitsevan tylpäkulmaisen kolmion ympärysmitta ja ortokeskus?
Yksi tapa määrittää ympärysmitta ja ortokeskus mihin tahansa kolmioon, joka on tylsä tai ei, on käyttämällä vektoreita ja matriiseja.
Johdanto:
Se on vähän mukana, joten sitä ei tule mikä tahansa tila laskelmien näyttämiseksi.
Sanotaan, että meillä on kolmio, jonka kärjet ovat A, B ja C ja että niiden vastakkaisten sivujen pituudet ovat vastaavasti a, b ja c.
Määritämme kolme vektoria: \ vec {u} = \ left (BA \ right), \ vec {v} = \ left (CA \ right) ja \ vec {w} = \ vec {u } – \ vec {v} = \ vasen (BC \ oikea).
Nyt, synti ce-vektorit ovat matriiseja, voimme käyttää matriisimuotoa, jossa T vektorin jälkeen tarkoittaa, että se on transponoitu. Joten \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = c ^ {2}, \ vec {v} ^ {T} \ vec {v} = b ^ {2} ja \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = a ^ {2}. Nämä ovat itse asiassa pistetuotteita.
Sekaannusten välttämiseksi käytän myös merkintää \ vec {u} ^ {T} \ vec {u} = u ^ {2}, \ vec {v } ^ {T} \ vec {v} = v ^ {2} ja \ vec {w} ^ {T} \ vec {w} = w ^ {2}. Joten, u \ equiv c, v \ equiv b ja w \ equiv a. Käytän myös hattua edustamaan yksikkövektoria, joka on vain vektori, joka on jaettu sen omalla pituudella ja jolla on siten pituus 1. Esimerkiksi \ frac {\ vec {u} ^ {T} \ vec {v}} {uv} \ equiv \ hat {u} ^ {T} \ hat {v}.
Muunnosmatriisi:
Määritämme nyt muunnosmatriisin. Jos työskentelet 2-ulotteisena, se on 2×2-matriisi ja jos työskentelee 3-ulotteisena, se on 3×3-matriisi. Huomaa, että \ theta\_ {A} on kulma \ vec {u} ja \ vec {v} välillä, joka on kulman kärjessä A.
\ quad R = \ frac {v ^ {2} \ vec {u} \ vec {u} ^ {T} -u ^ {2} \ vec {v} \ vec {v} ^ {T}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ left ( \ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ right) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ {T} – \ vec {v} \ vec {v } ^ {T}} {1- \ vasen (\ hat {u} ^ {T} \ hat {v} \ oikea) ^ {2}} = \ frac {\ hat {u} \ hat {u} ^ { T} – \ hattu {v} \ hattu {v} ^ {T}} {\ sin ^ {2} \ theta\_ { A}}
Käytämme muunnosmatriisia toisen vektorin määrittelemiseen.
\ quad \ vec {r} = \ frac {v ^ {2} \ left (\ vec {u } ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {u} -u ^ {2} \ left (\ vec {v} ^ {T} \ vec {w} \ right) \ vec {v}} {u ^ {2} v ^ {2} – \ vasen (\ vec {u} ^ {T} \ vec {v} \ oikea) ^ {2}} = R \ vec {w}
Kaavat:
Olkoon H ortokeskus, joka on piste, jossa kolmion kaikki kolme korkeutta leikkaavat. Jokaisesta kärjestä kulkee korkeus viivalla, joka on kohtisuorassa vastakkaiseen jalkaansa.
Olkoon Q ympärysmitta, joka on piste, jossa kolmion kaikkien kolmen sivun kohtisuorat puolikkaat leikkaavat. Se on ympyrän keskipiste, joka on ympyrä, joka sisältää kaikki kolme kolmiopistettä.
Nyt voidaan jonkin verran töitä päätellä, että
\ quad \ aloita {matriisi} {l} H = \ vec {A} + \ vasen (\ vec {u} + \ vec {v} \ oikea) – \ vec {r} \\ Q = \ vec {A} + \ frac {1} {2} \ vec {r} \ end {array}.
Käyttämällä mainitun kolmion kärkiä vektorina voimme muuntaa ne symmetrisiksi kaavoiksi.
\ begin {array} {l} H = \ left (\ vec {A} + \ vec {B} + \ vec {C} \ right) – \ frac {a ^ {2} \ left (-a ^ {2 } + b ^ {2} + c ^ {2} \ oikea) \ vec {A} + b ^ {2} \ vasen (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ oikea) \ vec {B} + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ oikea) – \ frac {1} {2} \ vasen (a ^ {4} + b ^ { 4} + c ^ {4} \ oikea)} \\ Q = \ vec {A} + \ dfrac {1} {2} \ frac {a ^ {2} \ vasen (-a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ oikea) \ vec {A} + b ^ {2} \ vasen (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} \ oikea) \ vec {B } + c ^ {2} \ left (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ vec {C}} {\ left (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} \ oikea) – \ frac {1} {2} \ vasen (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} \ oikea)} \ end {array}
Huomaa, että ei ole neliöjuuria eikä trigonometriaa Tarvitaan kahden keskuksen löytäminen.