Paras vastaus
Säännöllinen viisikulmio ei tesselloi.
Jotta säännöllinen monikulmio pystyttäisi tikkumaan pisteestä pisteeseen, sisustus monikulmion kulman on jaettava 360 astetta tasaisesti. Koska 108 ei jaa 360 tasaisesti, tavallinen viisikulmio ei tesselloi tällä tavalla.
Yritetään sijoittaa yksi kärjistä reunalle jonnekin kärkipisteen sijasta, ei toimi samoista syistä, kulmat eivät eivät sovi yhteen.
On kuitenkin paljon viisikulmioita, jotka teselloivat, kuten alla oleva esimerkki, joka laatoi pisteestä pisteeseen. Voit nähdä, että kaikkien monikulmioiden kulmat yhden kärkipisteen ympärillä ovat 360 astetta.
Kulmaehdon tarkistaminen on ei ainoa vaadittu ehto monikulmioiden tesselloitumiseksi, mutta se on erittäin helppo tarkistaa.
Vastaus
Vain kolme säännöllistä monikulmiota tesselloi: tasasivuiset kolmiot, neliöt ja säännölliset kuusikulmat.
Mikään muu säännöllinen polygoni ei voi tessellata polygonien kulmien kulmien takia. Tason tesselloimiseksi kokonaislukumäärä kasvoja on kyettävä kohtaamaan yhdessä pisteessä. Tavallisille polygoneille tämä tarkoittaa, että monikulmion kulmien kulman on jaettava 360 astetta. Lisäksi kaikkien kuperien polygonien ulkokulmien summan on oltava 360 astetta, ja säännöllisten polygonien osalta ulkokulmien on oltava yhtä suuret ja summa 360 astetta. Tämä tarkoittaa, että tavallisen n-gonin sisäkulma on 180 ^ \ circ – \ frac {360 ^ \ circ} / n. Nurkan ympärille mahtuvien tavallisten n-gonien lukumäärä on siksi \ frac {360 ^ \ circ} {180 ^ circ- \ frac {360 ^ circ} {n}} = \ frac {360 ^ \ circ n} { 180 ^ \ circ n – 360 ^ circ} = \ frac {n} {\ frac {1} {2} n-1} = \ frac {2n} {n-2}, ja on mahdollista vain, jos se on kokonaisluku .
Tasasivuisilla kolmioilla on 3 sivua, joten voit sovittaa \ frac {2 (3)} {3–2} = \ frac {6} {1} = 6 tasasivuista kolmiota pisteen ympärille. Tessellointia ei ole suljettu pois.
Ruuduilla on 4 sivua, joten voit sovittaa \ frac {2 (4)} {4–2} = 8/2 = 4 neliötä pisteen ympärille. Tessellaatiota ei ole suljettu pois.
Viisikulmioilla on 5 sivua, joten \ frac {2 (5)} {5–2} = 10/3 viisikulmioita pisteen ympärille. Tämä ei ole kokonaisluku, joten tessellointi on mahdotonta.
Kuusikulmioilla on 6 sivua, joten voit sovittaa \ frac {2 (6)} {6–2} = 12/4 = 3 kuusikulmiota. Tessellaatio ei ole poissuljettua.
Mutta enemmän puolia? No, se ei ole mahdollista. Huomaa, että \ frac {2 (n + 1)} {(n + 1) -2} = \ frac {2n + 2} {n-1} frac {2n} {n-2} ja että 2 < \ frac {2n} {n-2}, joten n> 6: lla sinulla on 2 frac {2n} {n-2} frac {2 (6)} {6–2} = 3, joten tavalliset kuusikulmio, kahdeksankulmio, ei-nelikulmio jne., et voinut sovittaa niiden kokonaislukua pisteen ympärille.
Tämä ei tarkoita, että ei ole viisikulmioita, kuusikulmioita, kahdeksankulmioita jne. ei säännöllisiä viisikulmioita, säännöllisiä seiskulmia tai tavallisia kahdeksankulmioita jne.